72 第2章 関数 ( 1変数 )
重要 例題 016 逆三角関数の性質
sin(Sin't+Cos't) = 1 を示せ。
指針 逆三角関数 Sin't Cost の定義を確認する
問題である。 これらはどちらも、閉区間
(0<x) (1) mil
重要
y4
関数 f
の lim
n→∞
[-1, 1] 上で定義された連続関数である。 そし
て, Sin' は値域が [一であり、
Sin
11
0
x
0
指針 必
Cos
t
Cos't は値が [0, π] である。 これらを踏ま
えて三角関数の定義と照らし合わせると,
-1
解答 1
Sin' Cost がどこの角度を測っているか。
が、図のようにわかる。
[1]
ここでは,tの符号によって角の測り方が変わるから三角関数の加法定理
sin(a+β)=sina cos β+ cosasinβ を使って機械的に解こう。
CHART 逆三角関数 三角関数の逆関数
x=siny y=Sin ¹x x=cos y y=Cos¹x
x=tany⇔y=Tan'x
解答 加法定理により
sin(Sin 't+Cos-lt)=sin(Sin't)cos(Cos-lt)+cos (Sin-1t)sin (Cos-'t)
=t2+cos (Sin't) sin (Cos 't)
77 ここでより, cos(Sin-lt) 20であるから
cos(int)=√1-sin'(Sin't)=√1-ゼ
また,Costaより, sin (Cos 't) 20であるから
を作
sin Cost)=√1-cos" (Cos 't)=√1
よって
sin(Sin't+Cost)=t2+(√1-t2)=1
参考例えば, t>0 の場合, Cost と Sin't は, それぞれ右で図示され
角度を与える。
の正の向きから時計回りに測った角度である。
ただし Cos-'t は x 軸の正の向きから反時計回りに、Sin't y
tsug
y Mint
Cost
この図から、閉区間[0, 1] 上のすべての実数に対し、
Sin' + Cos = 2 となることがわかる。
0
t1x
したがって
sin(Sin-'t+Cos^'t)=sinz=1
