2. 基礎解析学 (1)]
(1) f(x,y) = f(a,b)+2ab(x-a)+3a2b2(y-b)+(-a)2 + (y-b)2C (x,y), ただし C'(x,y)
は (a, b) のまわりで定義され, (a,b) で連続でC(a,b) = 0 となる函数 .
(2) 約 8400 増加. [f(a,b)+2ab'(x-a)+3a2b2 (y-b) において (a,b)=(30,10), x-a=0.05,
y-b=0.02 とすると 2･30･103・0.05 + 3・302.102.0.02 = 3000 + 5400 = 8400 これがf の
変化量の近似値となる.なお, 実際の変化量は8431.3... 程度 . ]
(3) 約 2000 減少 [f(a,b)+2ab(x-a)+3a2b2(y-b) において (a,b)=(20,10), x-a=0.01,
y-b= -0.02 とすると, 2･20･103・0.01 + 3.202.102(-0.02) =400-2400=-2000. 実際の
変化量は1997.5... 程度. ]
[注.「全微分」というものをdz = fr(a,b)dx+fy(a,b) dy あるいはこれと同等な形で定義して
いる教科書も多い. これの詳しい意味は教科書である難波誠 『微分積分学』 (裳華房) p.146 を参
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照してほしい.この定義を用いると次のような解答が可能: (2) dz=2abdx+3a2b2dy におい
て (a,b) = (30, 10), dx = 0.05, dy = 0.02 とすると, dz = 2.30.10°.0.05 + 3・302・102.0.02 =
3000 + 5400 = 8400. これがの変化量の近似値となる. (3) dz = 2abdx+3a2b2dy において
(a,b) = (20,10), dx = 0.01, dy = -0.02 とすると, dz = 2.20・103・0.01 + 3.202.102(-0.02) =
400 - 2400 = -2000. ]
