政宗
3
単調
基本 例題 019 有界で単調減少する数列の極限
次の条件で定められる数列{an} について,以下のことを示せ。
★★
[基本
a>2
この
1
a=2, an+1=
an
an
2)
=(a+) (n=1, 2, 3, ....)
(1) すべてのnについて an≧2
(2)数列{az} は単調に減少する。
指針
(3) 数列{a} は √2 に収束する。
指針 この漸化式はニュートン法(p.96 参照) によって構成され, 近似値 2 を与える計算方法
1つである。
(1)帰納的にa>0であるから,相加平均≧相乗平均の関係を利用する。
(3) はさみうちの原理を利用して, lim an-√21=0 を示す。
12100
解答 (1) α=2>0 であり,漸化式の形から,すべての自然数nについてan>0である。
よって,相加平均と相乗平均の関係から,任意の自然数nについて
11 = 1/2 (an + 2 ) 2 1 1 · 2 √an · 2 =√2
an+1=-
an
an
=2√2 であるから,すべてのnについて
全体
>
「or
an≧√2
ord
-ano
(2) 任意の自然数nについて
anz
anti-an=
2
= (a + 2)
-
2-an
-an=
両認して、
2
2an
(1)より, an≧√2 であるから
an = 2
2.
an²≤0
ゆえに
2-an≤0
anti-an
解答
よって, an+1≦an であるから, 数列{az} は単調に減少する。■
(3) 与えられた漸化式により
an-√2
より
2an
an+1 1
an2-2√2 an+2(an-√2)2
S
an
2an
2-12 であるから
2an
√2 = 1½ (an - √2)
0≤an-√2 ≤ (1) (a-√2)
よって
lim
(1)
(-√2)=0であるから
1\n-1
2an
an-√2
antl
20n
-(an-√2)
F=/(an-2)
a) - 2 ½ £ (an-√=))
ant-2FanF
liman=√2
818
an
an
089-2
osan-
2
参考
lin
n-
0500-12
