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基本例題031-8 論法による基本定理の証明
下の指針の定理について, 以下の問いに答えよ。
(1) 下の, 関数の極限の性質の [2], および [3] を,e-8 論法を用いて証明せよ。
(2) 下,合成関数の極限をe-8 論法を用いて証明せよ。
指針定理関数の極限の性質(スロー(x)=(x)ノー
関数 f(x), g(x) および実数 α について, limf(x)=a, limg(x) =β とする。
[1] lim{kf(x) +1g(x)}=ka+1β (k, lは定数)
x→a
x→a
[2] limf(x)g(x)=aB
[the lim (1/(x)
定理 合成関数の極限
4179744571
x→a
x→b
YOU
関数 f(x), g(x) について, limf(x)=b, limg(x)=αとし, g(x)はx=6で連続とする。
このとき,合成関数 (gf) (x) について, lim (gf) (x)=α が成り立つ。会場
x→a
x→a
x→a
x→a
xx→a
[3] lim
x→a
f(x)
a
g(x) B
E-8 論法による証明であるから、 「 e を任意の正の実数とする」から始める。そして,これに
対応するの値を検討する。 次のような方針で証明を進める。
f(x)
(1)
1
1
の極限を求める問題は、f(x) x-
g(x)
として
g(x)
g(x)
る。 関数の値と極限値との差の絶対値を評価し,途中でどのような仮定が必要になるかを考
05.10
える｡
So I had
lot
(2) 合成関数g (f(x)) の値を g (f(a)) に近づけるには,gの中にある f(x) をどの範囲で
x→a
==
(ただし,β≠0)
eを任意の正の実数とする。
limf(x) =α であるから, ある正の実数品。 が存在して,
()+6011-5
0<|x-a|<品。 であるすべてのxについて|f(x)-α|<s が
f(a) に近づければよいかを考え,それに応じてxをどの範囲でαに近づけるか考える。
1o C
(+18
解答 (1) 性質 [2] の証明
成り立つ。このとき,α-e<f(x)<α+ であるから
|f(x)|≦max{|a-el, |a+c|}
S3A/
ここで,M=max{|α-el, |α+el, |β|} とおく。
e≠0 より |a-el, late | の少なくとも一方は0でない
から
M>0
limf(x) =α であるから,ある正の実数 Ô が存在して
E
0<|x-a|<ふであるすべてのxについて|f(x)-al<
AMICIAS
が成り立つ。
limg(x) =βであるから、 ある正の実数 82 が存在して
1
B
を示す問題に帰着させ
e-8 論法による証明の
開始。
Jel
4
