写真の9-1(1)は非同次微分方程式y=2y'x+x²(y')⁴についてですが、 g(x,p,C)=0というパラメーター表示をするために(Cを式に含めるために) 2xy'+p=0に注目して、x=C/p²というパラメータ表示を得てますが、もうひとつの解てある、1+2xp²=0... 続きを読む

第9回演習問題 解答 (2xp'1p+4x²pp tapt) 9-1.(1) p=yとおいて両辺をで微分して整理すると (以下同様)、(1+2cp^) (2xp+p) = 0. da 2 • 2xp' + p = 0. と変形して、 log||=-2log|p|+Cより、π= よって dp P C y = 2xp+ x²p4, x = p2 というpによるパラメータ表示を得る。 3 ・1+2xp=0.p=-(2)-1/3より、y=- (2x)2/3 (2) p=p'x+2+p+2pp' b. dx == 1 dp 2 y = (2+p)x+p², -p (1階線形)。 これを解いて、 x=-2p+4+ Ce¯P/2. (3) (x- e³)p' = 0. • p=0. p= Cb, y=Cxec. • xe = 0. p = log x, y = x logx - x. (4) p = p²+2(x-1)pp' ). (2(x-1)p' + p − 1)p = 0. dx • 2(x − 1)p' + p − 1 = 0, p 1. 2(x-1) より、 dp p-1 C y= (x 1)p², x = +1. 1)2 • p= 1. y=x - 1. • p=0. y = 0. dx log p+1 (5) p = (logp+1)p'より、 を解いて、 dp P (6) (1+xp²)p' = 0. y = plogp - 1, p = 0. p=C), y = Cx-C-1. x = (log p+1)²+C. 1 •1+xp² = 0. y = xp --, 1 x = -- P p2 9-2. (1) y = sinht, y' = cosht とパラメータ表示すると、 Y = cosht- dt dx =coshtより、 dt dx = 1. つまり、t=æ+C. よって一般解はy=sinh (π+C). (2) (y-y) (y+2y) = 0. • y' - y = 0. y = Ce y' +2y= 0. y = Ce-2x dt (3) y = acost, y = bsint とパラメータ表示すると、y=bcostu = a cost. ⚫ cost # 0. dt dx a より、t=q+C.よって一般解はy=bsin (u+C) ⚫ cost = 0. sint = ±1, y = ±b.

問題1が解けません途中式含めて教えていただけると助かります

1.2 解の存在と一意性 3 1 1階常微分方程式 本章では微分方程式の中でも最も単純な1階常微分方程式の解き方を学ぶ、単 純とはいっても解がすぐに見つかるとは限らない。 比較的容易に解が得られる微 分方程式にはいくつかのタイプがあるので、それをみてみよう.これらの解法は 2階以上の、より複雑な微分方程式の解法の基礎でもある. §1.1 微分方程式の階数 ェを変数とする未知関数をg(x)として F(x,y,y,y',...) = 0 x, y(x), y(x) = dy dx' d²y y" (x) = dx2, から成る方程式: (1.1) を常微分方程式という. また, 導関数の微分回数を階数といい, 階導関数 y(n) = dmy/dr” が (1.1) の最高階数の導関数のとき, (1.1) をn 階常微分方 程式という. たとえば,x軸上で力f (x) を受けて運動する質量mの質点の時刻での 座標x (t) は, よく知られているように,ニュートンの運動方程式 m = f(x) dt² (1.2) に従う.これは変数がt, 未知関数がェ (t) の2階常微分方程式の例である. 他方,同じ問題を質点がポテンシャルV (x) の中を力学的エネルギーEで 運動しているとしてエネルギー保存則の立場で見ると, d²x + V (x) = E (1.3) と表される.この式に含まれる導関数はdr/dt だけなので,これは1階常 微分方程式である。 [問題1] f(x)=-dV (x)/dr として,上の2式が等価であることを示せ. ヒント:エネルギー保存則によりEは一定であることに注意し、 (1.3) の両辺を で微分してみよ。) 本章では,最も階数の低い1階常微分方程式について学ぶ。 §1.2 解の存在と一意性 微分方程式の解の存在やその一意性などというと大変難しそうに聞こえる が,これから見るように直観的にはそれほど難しいことではない. 1階常微 分方程式のもっとも一般的な形は (1.1)より F(x,y,y)=0 (1.4) と表される. これをの方程式と見なして, それについて解けるときには dy = f(x, y) dr (1.5) と表される.この微分方程式は、 図1.1に示したように,その解y (x) があ ったとして解曲線y= y (x) をry 平面上に描くと, 任意の点(x,y) でのこ の曲線の接線の傾きがf(x,y) であることを意味する. したがって,(1.5) を解いてy(x) を求めるというの は, 曲線y=y(z) 上の点(x,y) で その接線の傾きがちょうどf (x,y) に等しいものを見出すことに相当す る. このことからまた, (1.5) を幾何 学的に解く方法も考えられる. ry 平面上の任意の点(x,y) f (x,y) を計算し,その値を傾きとしてもつ y 0 接線の傾き: f(x,y) 図 1.1 y=y(x)

古文がどうしても苦手で、現代語訳を教えていただきたいです(＞＜)

『旧唐書』後半読み下し文 旧字は通用字体に直してあります。 ちょうげんもく 開元の初め、又使を遣して来朝す。請いに因り、儒士、経を授く。四門助教趙玄黙 に詔して、鴻嘘寺に就きて之を教える。乃ち玄黙に闊幅の布を遣し、以て すなわ ひろはば 束修の礼と為す。題に云く、「白亀元年調布」 と。 人、亦其の偽りなるを疑う。 せきらい か うか 得る所の錫賚②は、尽く文籍を市い、海に泛べて還る。其の偏使朝臣仲満③、 中国の風を慕い、因りて留まりて去らず。姓名を改め、朝衡と為す。仕えて さほけつ ぎおうゆう 左補欠・儀王友を経たり。衡、京師に留まること五十年、書籍を好み、帰郷 ゆる を放すも、逗留して去らず。天宝十二年、又使を遣して貢ず。上元中、衡を擢 んきじようじ ちんなんとご んでて左散騎常侍・鎮南都護と為す。貞元二十年、使を遣して来朝す。留学 たかしなのまひと 生橘逸勢④・学問僧空海 ⑥。 元和元年、日本国使判官高階真人上言す。 「前件 ようや すなわ の学生、芸業稍く成り、本国に帰ることを願う。便ち臣下と同じく帰ること を請う」と。之に従う。開成四年、又使を遣して朝貢す。 to to ことごと

なぜ、2回目の微分のところで2xのXが0以上となるのでしょうか 写真2枚目の一番最初ににある「両辺は正より」とありますが、Xが-0、5などの時正になりますか？

グラフの概形(Ⅲ) 演習問題 54 1+x 関数y= tanh-'x=→log (-1<x<1)の増減凹凸を調べて、 x グラフの概形を描け。 y=f(x) = tanh-'x=とおいて, まず, f(-x)= -f(x) を確認する。 ヒント! 解答&解説 y=f(x) = tanh-"'x={log(1+x) -log(1-x)} (-1<x<1)とおく。 f(-x)={log(1 -x)-1og(1+x)}=-→{log(1+x)-log(1-x)}=-ル f(-x) = -f(x) より, y=f(x) は奇関数。 原点に関して対称なグラフ よって,0Sx<1についてのみ調べる。 * cosh-'x=log(x+vr-1 f (x) = {4+x)_ (1-x) +x 2 1 1-x * sinh 'x= log(x+Vx*+1 1 =i+x 1 2 2 1 >0 1-x * tanh 'x=→log 1+x ニ 1 1-r? 1-x より,f(x) は単調に増加する。 0以上 今何で? f"(x) = - (1-x')-2. (- 2x) = 2) 20 増減·凹凸表(x20) (トネ)ー」 より,f(x)(0 ハx<1) は下に凸である。 x 0 *f(0) =0 1 1 原点における接線は, 直線y=x S(x) + 1 『(x)| 0

問1⑴.⑶ 問2⑴.⑵ の解答への導出を教えて頂けないでしょうか。 よろしくお願いします。

問1. ライプニッツの公式を用いて, つぎの高階導関数を求めよ: (1) (eainy)g (2j唐(ICOSEZ) (代(26 (《4り請(ZlcOSI 問2. ライプニッツの公式を用いて, つぎの関数の z 階導関数を求めよ: (0 0の0 (20 BDDの (SG)層 220Gtmz。

p1ーp0’が0になる理由を説明しているところがわからないので、教えてください。

全微分、偏微分の判定方法について参考書をみても解き方がよく分からないので教えてください 3.1です。

以下の定義を確認せよ. * 領域 * 2階偏導関数, .., 高階信導関数. * 領域 の上の関数 げ が の で の" 級であること. *。 シュワルツの定理 (これは定義ではなく定理) 。 *・ 7 は点 (6の) の近傍で定義されている関数とする. 了 は (2,5) で全微分可能である こと. 全微分 が. 2. 3 変数関数に対してそれぞれ 2着目の2 の 9 者 ^ニ記す刻 ^ニ記す記す記 で定義される敏分演算子 へ をラプラ シアンとv 人ナニ= 0 を満たす2変数 (また 数) の の