例題 6-10(最大・最小①)
A 67
大値を求めよ。
がすべて正で x+y+z=a (aは定数) のとき,積 xy'z の最
謝
解説 関数 f(x,y)において最大値・最小値の存在および最大・最小とな
る点が極大・極小であることが明らかな場合がある。しかも極大・極小となる
点の候補がごく限られているならば,ただちに最大・最小が求まる。
[解答] x+y+z=aより, z = a-x-y
z=a-x-y>0より,x+y<a
よって,x,y が満たすべき条件は,
x>0,y>0, x+y <a
この不等式によって表される領域をDとおく。
O
a
また, x'y'z=xy (a-x-y)=axy-xyxy*
f(x,y)=axy-xy-x'y^ とおく。
f(x, y) はD上の連続関数で,かつ, D の境界上で値は0となり最大とはな
らない。 よって, D の内部で必ず最大となる。 したがって, 最大となる点は停
留点である。
fx(x, y) =2axy-3x2y3-2xy=xy(2a-3x-2y)
fy(x, y)=3ax2y2-3x3y²-4x²y3=x²y² (3a-3x-4y)
fx(x, y) =0 かつ f(x, y) =0 とすると,
2a-3x-2y=0 かつ 3a-3x-4y=0
囲える 真界を含む
有界閉集合上の
連続関数は
Maxとminをもつ
これを解くと, x=-
a
3'
v=0
y
a
よって,最大となる点の候補は (11/27)
a
3'
のみであるから, f(x, y) は
a
(x,y)
a
(17.12において最大となる。
a
a
a6
最大値は,
3'2
432
