問題 1 (G1,*), (G2, *) を群とし, f: G1 → G2 を群準同型写像とする.
(1) G が非可換群 (非アーベル群) で G2 がアーベル群ならば, Kerf は単位元以外の元を
含むことを示せ.
(2)f が全射であり, N2 が G2 の正規部分群であるとき, f-1 (N2) は G1 の正規部分群であ
ることを示せ.
(3) N3 が G1の正規部分群であり,N4 が N3 の正規部分群のとき N は G1 の正規部分群
となるか?証明 (理由) とともに答えよ
問題2 (1) 4次対称群 4 の位数 8の部分群の具体例を1つ挙げよ.
(2)4の位数 8 の部分群はすべて4 の正規部分群にならないことを、以下の方針に従っ
て証明せよ.
位数8の正規部分群 N があると仮定し, 位数2の元oe S4 の剰余類 N の剰余
群S4/N での位数を考察して,ENを示す. それにより Nの位数が8を超えて
しまうことを言う.
(3) G4 の指数 8 の部分群の個数を求めよ.
問題 3 加法群 (Z,+) の部分群 nZ による剰余群 Z/nZの直積群についての以下の問いに答えよ.
(1) Z/2ZxZ/6Z と Z/3Z × Z/4Z が同型であるならばそのことを証明し,同型でないなら
ばその理由を説明せよ.
(2) Z/2Z × Z/12Z と Z/4Z × Z/6Z が同型であるならばそのことを証明し,同型でないな
らばその理由を説明せよ.
