1. S2 = {(x,y,z) ∈ R3 | x2 + 42 + 22 = 1} を単位球面とし, R3 のry平面を自然に R2 と同一
視する:
{(x, y,0) | (x, y) = R²} ↔ R², (x, y,0) ↔ (x, y).
“北極” (0,0,1) 以外の各点 p∈ S2 に対し, p と (0,0,1) を結ぶ直線と xy平面との交点を
n(p) とすることで 写像
ゆN: S2\{(0,0,1)} → R2
が定まる. これを北極からの立体射影とよぶ.同様に,p∈ S2\{(0,0,-1)} と “南極” (0,0,-1)
を結ぶ直線を考えることで, 南極からの立体射影
$s: S2 \{(0,0,-1)} → R?
ができる.これらにより与えられる球面の二つの“地図”(局所座標)の間の変換 son²を
考えよう.この座標変換の定義域 (すなわち ♀N の行き先の R2 の中の適当な開集合) 上の
座標軸に平行な直線たち
Lk={(x,k)|n∈R}, L'k={(k,y)|y∈R}(k= -2,-1,0,1,2)
(下の図を参照) を pson でうつしてできる曲線の絵を描け.
L2
L1
Lo
L_1
L-2
I'_2I'_L' LL'2
son の式を計算して求めても、 作図によって求めても良い. 答えだけではなく, 理由も
(読み手が理解できるように) 説明すること.
