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半題3
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線形代数学1 (板倉)
2020705/19
演習問題 1
|順 1.[内分点 (自習用間題 10 と一部重枯あり) ] 2 点 AB とある点 0 を結んでできたベクトルをそれぞれな
とする。また、線分 AB を p :れに内分する点をP とし(つまり、AP:PBーm:)、点0を始点、上
P を閑とするペクトルを戸とする。
(1) 玉を証5を用いて= sg人5 と表したとき、s1および』す1の値を求めよ。
(⑫) 内分する比を与える数mun は任閥の正の実数としてよい (ma > 0.n > 0)。そこで、mrn を様々な数
ったとき、 設問 (1) で求めた x6 および s二1の値はどのように変化するか。また、内分点P はそれに
応じてどのように変化するか。
[還] 角 ABC の重心 G について詳しく調べよう。 基準応0 を導入し、3 つの項点の位置ベクトルを
それぞれ= 4.ぢ= 05.ど=0C、重の位置ペクトルをず= OO とする。次の問いに答えよ。
(1) 基準旧0をd+ち=でとなるようにとると、O はどのよう !軒することになるか。
(2) 0C と AB の交わる点を D とする。Oのをさとちを用いて表せ。また、D は AB の中点であること
を 4の をさとちを用いて表すことで示せ。
(3) 重心Gが0C 上にあることを O を使って示せ。
(4) DG とGO の長さの比が1!2になることを示せ。
(5) 共点を新たに勝手な場所にとり、それを点 O' とする。このとき、O' を基礁とする3つの順間の位
周ベクトルを、 めど とする。 設問 (1) から (4) までの結果を利用して、O" を基準した重心の位置ペク
トルず をず, がごを使って表せ。
[内分点・重心] 図のように平行四辺民 ABCD の外部に基奪点 0 をとり、各大点と茜んだペクトルを
の4 = 4 0g=. 0り=』Oの=ざとする。このとき、次の問いに答えよ。 P
Cd) 平行稼形は向かい合う 2 辺が平行かつ同じ長さであるとして ん 7
特徴づけられる。これはペクトルでは 24 Cg および42 =の R。
という条件で表現される。この条作を語るびを用いて表し、それが
AC の中点と DB の中点が一致することを意味することを示せ。 ン
(⑫) 4上KA B, OLDの重心をG とするとき、重心のペクトル D_Q と
す= 09 を、ペベクトルさとでを用いて表し、G が AC の中京に
位置することを示せ。 9・
(3) 痢分ABをmiに内分する点をP、線分 CD を団じく ainに内分する点をQ とする。P.Q の位
置ベクトルをそれぞれ広げとするとき、それらをペクトルふちを用いて表せ。
(4 上と旋Qの中上をとすると、その上は内分比の値によらず、重心G
致することを示せ。
[硬] 剛三角媒 0-ABC において、A。 B. で 各点の位雀ペクトルを04 =みOが=5OCニでとする。
(0 のの位溢ベクトルをでを用いて表せ
(6) AOABの重心D (5) AOBCの重心E (<) AOACの重心
(Q) AABCの間心G (<) 0.A.B、Cの重心 (DD.EFGの重心
(2) Hは線分 0G 上にあることを示し、OH と HG の長きの比を求めよ。 て
