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31. 定理 10.2:A=Bにより定義した関係は同値関係である。これを証明せよ。
30. 3個の要素をもつ互いに相似でない半順序集合はいくっあるか。それぞれ図を書け。
1 Aは上に有界か。(2) Aは下に有界か、3 spA) は存在するか、
25. (1) pを素数としたとき,(p,2)が極小元である。
26. (1) ただ1つの要素からなる集合が極小元である。
194
A=||zEQ, 8<せく15
第の 平修集合と全手集合 19s
とおく。
4 inf(A) は存在するか。
(e) Bに最初の元があるか。
d) Bに最後の元があるか。
1) a) Bの極小元をすべて求めよ。
)Bの極大元をすべて求めよ。
2)を空でないBの全顧序部分集合のなす族。通に集合の包含関係で順序を与える。
a)の極大元をすべて求めよ。
4)の極小元をすべて求めよ。
相似な集合
(e) に最初の元があるか。
dに最後の元があるか。
102: A=Bにより定義した関係は同値関係である。これを好囲せよ
25. M = |2,3.4,…!とする。MXMにつぎのように順序を与える。.
がeを割り切り、 bがd以下のとき,(a.b)% (c.d)とする。
(2) 極大元をすべて求めよ。
1)極小元をすべて求めよ。
補充問題の答
26. M=|2.3.4..」 に"ェはyを割り切る”で順序を与える。さらに、#をMの空でない全層を部。
集合のなす族。『に集合の包含関係で半順序を与える。
(1).rの極小元をすべて求めよ。
20(1) a) 317
(2) (al (b,(dのみ全順序集合である。
(6) 2>8
(c) 6<1
d 3>33
(2) .の極大元をすべて求めよ。
(6)415
(e) 5|| 1 4<2
12)
27.つぎの各命圏は真であるか偽であるか,偽である場合は反例をあげよ。
(1) 半順字集合Aが極大元』をただ1つもつならば, aは最後の元である。
(2) 有限半順序集合Aが極大元』をただ1つもつならば,aは最後の元である。
(3) 全序集合が極大元』をただ1つもつならば,aは最後の元である。
上界と下界
28. W=|1,2,…, 7,8|につぎのような単序を与える。
(4) 集合として(3)と同じ集合
2
d)(2,2)<(15, 15)
23.
住,,4)。
(2,4)
2,3)
(1) Wの部分集合A=|4,5,7| を考える。
(1,4}
(a) Aの上界集合を求めよ。
) Aの下界集合を求めよ。
(2)Wの部分集合B=|2.3.61 を考える。
e) sup(A)は存在するか。
{3]
dind(A)は存在するか。
24.(1) a) dとf
(e)ない ある。 aが最後の元
(6)a
Bの上界集合を求めよ。
() Bの下界集合を求めよ。
(3) Wの部分集合C=|1,2,4,7| を考える。
a) Cの上界集合を求めよ。
() Cの下界集合を求めよ。
12) (a) la,b.dl. la.b.e.fl. la, c.jl
)ただ1つの要素からなる集合である。 lal.1bl,lel.Idi, lel,I/l.
(e) ないd)ない
e) sp(B)は存在するか。
inf(B) は存在するか。
le) sup(C)は存在するか。
indC) は存在するか。
pを素数としたとき, (p.2)が極小元である。
(2) 極大元はない。
29.有理数の集合Qに自然順序を与え。
た,…を任意の妻教列とすると、 in.np.ARm.…」 のタイプの集合が極大元である。
