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例題 7 次の関数をマクローリン展開せよ。
1
f(x)=
XC
解
f'(x) = (1-z)-2,f'(x)=2!(1-x), f''' (x) =3!(1-æ)-4,...
f(m)(x)=n!(1-2) -(n+1) より
f(0) = 1, f'(0) = 1, f'(0) = 2!, f'' (0) = 3!,...,f(n)(0) =n.
したがって
Pn(x)=1+x+x2 +…+xm
これは初項 1. 公比, 項数n+1の等比数列の和だから
1-xn+1
P₁(x) =
1-x
これから
1 1-xn+1
f(x)-Pn(x)=
1-x
1-x
=
Xn+1
1-x
|x|<1のとき, lim "+1=0 だから
818
lim{f(x)-Pn(x)}=0
n1X
が成り立つ。よって,f(z)のマクローリン展開は次のようになる。
1 =1+++・・・+m"+... (|x|<1)
1-x