29. 次の微分方程式の一般解を求めよ.
(1)
d²x dx
+3
+2x=0
dt2
dt
d²x
dx
(2) - 2
+x=0
dt2
dt
31
(3)
解答
d²x
dt2
+9=2cos 2t
(1)一般解は,特性方程式 2 +3 + 2 = (入 + 1) (入 + 2) = 0 ⇒ 入 = -1, -2 より,
x=cle '+c2e- -2t (C1, C2 は任意定数) である.
(2) 一般解は,特性方程式 X2 - 2X + 1 = (入 - 1)2 = 0 ⇒ 入 = 1 より, z = e (Git+c2)
(C1, C2 は任意定数) である.
(3)この微分方程式の非同次項が 2 cos 2t なので、 一つの解はn(t)=Acos 2t + Bsin 2t
d²
(Acos 2t +
(AとBは定数)という形であるとして, 微分方程式の左辺に代入すれば,
dt2
Bsin 2t) + 9(Acos 2t + Bsin 2t) = 5A cos 2t + 5B sin 2t となる. これが 2 cos 2t に等
しくなるように A と B を決めれば, A = 2/5, B = 0 となる.よって,一つの解は
2
d²x
n(t)== cos2t であることがわかる. また, 同次方程式 +9=0の一般解は, 特性
dt²
方程式入2 +9 = 0 ⇒ 入 = ±3i より C cos3t + C2 sin 3t である. よって, 求める一般
解は,同次方程式の一般解と非同次方程式の一つの解の和であるから
π = C cos3t + C2 sin 3t + = cos 2t
5
(C1, C2 は任意定数) である.
