重要 例題 方程式の共通解
2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k = 0 がただ1つの共通の実数
解をもつように, 定数kの値を定め、その共通解を求めよ。
CHART
S OLUTION
方程式の解
共通解をメとおくる
x=α が解⇔ x=α を代入して方程式が成り立つ
もんだいは
2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式にx=α を代入した
2a²+ka+4=0,a2+α+k=0 が成り立つ。これをα, kについての連立方程式
とみて解く。実数解という条件に注意。
解答
共通解を x =α とすると
2a²+ka+4=0 •••••• ・①, a²+a+k=0
①②×2 から (k-2)α+4-2k=0
すなわち
(k-2)a-2(k-2)=0
よって
ゆえに
[1] k=2 のとき
2つの方程式は, ともに x2+x+2=0 となる。
その判別式をDとすると
(k-2)(a-2)=0
k=2 または α=2
D=12-4・1・2=-7
D<0であり,実数解をもたないから, k = 2 は適さない。
[2] α=2 のとき
②から 22+2+k=0
このとき2つの方程式は
2x2-6x+4=0
ゆえに k=-6
...... (2)
基本 75
......
・①', x2+x-6=0
となり,①'の解はx=1, 2 ②' の解はx=2, -3
よって,確かにただ1つの共通解 x=2をもつ。
[1],[2] から k=-6, 共通解はx=2
x=α を代入した ① と
②の連立方程式を解く。
α² の項を消す。
共通の実数解が存在する
ための必要条件であるか
ら,逆を調べ十分条件で
あることを確かめる。
←ax²+bx+c=0 の判別
式は D=62-4ac
2(x-1)(x-2)=0,
(x-2)(x+3)=0
(INFORMATION
この例題の場合,連立方程式 ① ② を解くために,次数を下げる方針で α2 の項を消
去したが,この方針がいつも最も有効とは限らない。
下の PRACTICE 79 の場合は,定数項を消去する方針の方が有効である。
PRACTICE... 79 ④
の方程式ター(k-3)x+5k=0,x+(k-2)x-5k=0がただ1つの共通解をもつ
ように定数kの値を定め、その共通解を求めよ。
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