-
![]()
-
![]()
第9回演習問題 解答
(2xp'1p+4x²pp tapt)
9-1.(1) p=yとおいて両辺をで微分して整理すると (以下同様)、(1+2cp^) (2xp+p) = 0.
da
2
• 2xp' + p = 0.
と変形して、 log||=-2log|p|+Cより、π=
よって
dp
P
C
y = 2xp+ x²p4, x =
p2
というpによるパラメータ表示を得る。
3
・1+2xp=0.p=-(2)-1/3より、y=- (2x)2/3
(2) p=p'x+2+p+2pp' b.
dx
==
1
dp 2
y = (2+p)x+p²,
-p (1階線形)。 これを解いて、
x=-2p+4+ Ce¯P/2.
(3) (x- e³)p' = 0.
•
p=0. p= Cb, y=Cxec.
• xe = 0. p = log x, y = x logx - x.
(4) p = p²+2(x-1)pp' ). (2(x-1)p' + p − 1)p = 0.
dx
• 2(x − 1)p' + p − 1 = 0, p 1.
2(x-1)
より、
dp
p-1
C
y= (x 1)p², x =
+1.
1)2
• p= 1. y=x - 1.
• p=0. y = 0.
dx
log p+1
(5) p = (logp+1)p'より、
を解いて、
dp
P
(6) (1+xp²)p' = 0.
y = plogp - 1,
p = 0. p=C), y = Cx-C-1.
x = (log p+1)²+C.
1
•1+xp² = 0. y = xp --,
1
x = --
P
p2
9-2. (1) y = sinht, y' = cosht とパラメータ表示すると、 Y = cosht-
dt
dx
=coshtより、
dt
dx
= 1. つまり、t=æ+C. よって一般解はy=sinh (π+C).
(2) (y-y) (y+2y) = 0.
• y' - y = 0. y = Ce
y' +2y= 0. y = Ce-2x
dt
(3) y = acost, y = bsint とパラメータ表示すると、y=bcostu = a cost.
⚫ cost # 0.
dt
dx
a
より、t=q+C.よって一般解はy=bsin (u+C)
⚫ cost = 0. sint = ±1, y = ±b.
