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xx-th-1²
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1
n-1
(2.12)
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20
君のこと
Page
+1)=
172
l
を上昇階乗ベキと呼ぶ。 この両者をあわせて, 階乗ベキと呼ぶことにする。
2.3 スターリング数
2.2節で学習したように、 階乗ベキは差分演算のなかで有効な計算手段
である。 ここでは,スターリング (Stirling *3) 数を利用して下降階乗ベ
キュ”と単項式”の関係を学習する。 ここでnは2以上の自然数とし
ておく。 実際には、下降階乗ベキを多項式で表すこと, 単項式を下降階
乗ベキの一次結合で表すことを問題意識とする。 まず、前者については
x² = x² +Nn-1,nxn-1 +...+₁,nx = Σnj,n x²
in (2.13)
j=0
と表せる。ここで,Vn,n=1,70,n=0, さらにnjin=0,j>nであり,
7j,n は漸化式
In=zn+in-1,n
n
-
njn+1=nj-1,n
nnjin, 1≤j≤n
x² (x-1)
{[ (x-1) (x-2) * \\ { XL-{h+1) +2) (x −(n+1)+1)
(2.14)
を満たす。実際,zn+1=cℓ.(x-n) であるから、この式の両辺をライ
プニッツの公式 *4 を利用して回微分すると,
積の微妙で、()は2階
(xn+¹)(i)
= (x²)(i). (x − n) + j(x²)(i-1)³025
(2.15)
を得る。2.13) から (215) の左辺の定数項は, j! 7jn+1 であり, (2.15)
の右辺の定数項は-nj! nijn+j.(j-1)! nj-1 である。 したがって、
う! で割って比較することで, (2.14) が導かれる。
また,後者については,
第2章 差分法 | 37
n
xn-¹ +...+ñ₁, x² = Σnk,n x²
k=0
x.
?jn+の区間の生き残り処理する?
(2.16)
と表せる。 ここで, in,n=1,70,n=0, さらに ik,n=0,knであ
り kn は漸化式
*3 James Stirling, 1692-1770, スコットランド, スターリングによって書かれた
ものに [163] などがある。
*4 1.4.2の定理 1.4を参照のこと。
> (x^²+1) = x^² + Mn₁n₁₁ X²
