Δtで微分したら1/2は消えると思ったのですが平均の速さがなぜαt1/2αΔtになるのですか？

1.1 距離と速さ 例題1 ・平均の速さ 質点の移動距離が時間tの関数として 1 at² s(t) = 1/2at (a:正の定数) 3 と書けるとき,t と t + t との間の平均の速さを求めよ. また, 時刻 t における 瞬間の速さはどのように表されるか. 解答 t と t + △t との間の移動距離 As は As=1/2al(t+At)2-12]=atAt+1/23a(At)2 となる.したがって, 平均の速さは (12) により 1 var=at+2a4t と求まる. 上式で At0の極限をとると瞬間の速さとして次式が得られる. v(t) = at 問題

この問題の30〜36を教えてください。 2枚目はv(t)とx(t)の答えです

II page-3 以下の文章の空欄に当てはまる数値または選択肢をマークせよ。 なお、番号には 「① +, ② ③ 値が0なのでどちらでもない」 のいずれかを選択して解答すること。 単位が明記されていない物 理量はすべてSI単位の適切な基本単位もしくは基本単位の組み合わせによる組立単位を伴っている ものとする。 軸上を運動する質量3kgの物体に, 速度でに依存する抵抗力F-6(vv) が作用している。 時 刻t=0において,この物体は0の位置にいて 204m/sの速さでz軸の正方向に運動していたと する。この物体の運動方程式として適切なものを以下の選択肢からすべて選ぶと 21 となる。 (選択肢) dax dv d²v ①3- = -6(V) ②3- = dt -6(√)335 = dt dt2 =-6(VD) ④3- =vo - 6(√)³ dv dt ⑤ 3 =vo-6(vv) ⑥ z=-vot- (vo)342 ⑦ dt この運動方程式は, 変数分離を用いると, dv 03/2 = 22 23 1 I= =vot- (viit2 dt. と変形でき, 両辺の積分を実行して、 初期条件を用いることで, 24 v(t) = 26 (1+25t) と求まる。 また, 時刻における物体の位置z (t)は, 27t x(t) = う 1 + 28t となる。これらの結果から,この物体は無限に時間が経過したときに= 29 の位置で止まること が分かる。 物体がx=0からある点=Xまで動く間に抵抗力Fがする仕事Wは, 抵抗力Fを物体の動き方に あわせてで積分することによって求まるから, W = = √³ Fo X Fdx, を計算すればよいが,この計算を実際に実行するためには, 積分変数を位置から時刻tに変換して 時刻t=0から物体が=Xに到達したときの時刻t=Tまでの間にFがする仕事を求める式に変形 するのが便利である。 dr = v (t) dtに注意しつつ, 置換積分を利用してこの計算を行うことで,Wを 3132 求めることができる。 例えば, t=0からt=1/2までの間にFがする仕事は [30] - である。 33 方, 物体がt=0から29で止まるまでにFがする仕事は, T∞の場合のWを考えればよく, その結果は W=343536となる。

量子力学わかる方教えて欲しいです。

以下、2で割ったプランク定数んと光速c を基準 (h=c=1) とする単位系を採用する。 1. 量子力学と線形代数、 対称性と保存則 Aを任意のエルミート演算子,入) を Aの固有値入。 に属 する固有ベクトル, すなわち, _A|入口> = 入口 入口), であるとする。 (1) 入口 が実数であることを示せ。 (2) 入口 ≠ 入 のとき二つの固有ベクトルは直交することを示せ｡ 以下、Ua = eisA (a は任意の実数)と置く。 (3) U はユニタリー演算子になることを示せ。 (4) 任意のαに対しU がある演算子と可換であるとき、AはHと可換であることを示せ。 時間に依存するベクトル | (t)) は次の (Schrödinger の) 微分方程式を満たすものとする。 i(t)) = H|y(t)) dt ここでHはエルミート演算子とする。 (5) ベクトルの内積 (v(t) (t)) が変数tに依存しないことを示せ。 (6) Aは時間に依存しないものとする。 任意のαに対しUとHが可換であれば、 ((t)|Alv(t)) は変数 ((t) (t)) tに依存しないことを示せ。

画像の様に式にtの関数が2つ以上入っている場合、どの様にして計算すればよいのでしょうか、 解説よろしくお願いします！

y平面上を運動している質点の時刻t におけるæy座標が次の式で与えられているとき, 質 点の速度 (t), 加速度 α(t), 軌道の方程式を求めなさい。 ただし, i, j は,それぞれæ方向, y 方向の単位ベクトルを表す。 なお、 ωはomega, v) はv[0] と表記する。 x(t) = vot.cos(3.w.t), y(t) = vot.sin (3.w.t) v(t) = vx (t)i + vy(t)j v(t) = -3*v[0]*t*omega*sin(3*omega*t) あなたの入力した数式は次のとおりです : -3.vo・t・w・sin (3.w.t) あなたの解答の中で使われている変数は [vo, w,t] です

この問題なのですが、単純に微分するだけでは何故だめなのでしょうか？また、どういう処理をした結果答えが出て来るのかがわかりません。過程を詳しく書いていただきたいです。よろしくお願いします！

正解は vocos (3.w.t) -3.v・w・t・sin (3・w-t) で,次のように入力します: v[0]*cos ( 3*omega*t) - 3*v[0]*omega*t*sin (3*omega*t )

解説の意味がさっぱり分かりません。 何故、平面上だと角運動量がzだけなのですか……？ 回答よろしくお願い致します。

23. 図のように, 基準点 0 を中心とする半径aの 円周に沿って質量 m の質点が速さ aw で等 速円運動している. 任 意の時刻 tでの質点の 位置ベクトルがr (a cos (wt), a sin (wt), 0) と書き表される時, 基準 点Oに関する角運動量 ベクトルを求めなさい. m (a) (0, 0, aw) (b) (0,0,ma²w) (c) (a cos (wt), asin (wt), 0) (d) (aw cos (wt), aw sin (wt), 0) (e) (- aw sin(wt), aw cos(wt), 0) - - O v= * = (-aw sin wt, aw cos wt, 0) Lz = ma²w (cos² wt + sin² wt) = ma² w L = (0, 0, ma²w) y 【解】 ry 平面内の運動であるから角運動量Lは成分Lz m(Ivy yuz) しかない. r(t) 8(t) v(t) = rpyYp=

このプリントを教えてください😭分かりそうなところまでは書いたのですが、全く分からないところは白紙です。また、問2のbが、わからないです…… 回答よろしくお願いします

間 1. 2. 軸上を運動している質点の時間における速度(t) が v(t) = 3t² + 6t+ 2 と書きされるとき、以下の各問に答えなさい。 ただし、時間も0における質点の座標は10 であるものとする。 312+2 (A) 任意の時間tにおける質点の加速度はいくらか。 vtt) = 6t+ 6 toより、6 (B) 時間 t = 0~10の間に生じた変位はいくらか。 (vi)α = (²+ 3t² +2 +70 13201 (C) 任意の時間における質点の位置ェを表す関数f(t) を示しなさい。 軸上を運動している質点の時間tにおける速度v(t) が v(t) = vo e-ct ( v c は正の定数, e は自然対数の底) (2) と書き表されるとき、以下の各問に答えなさい。 ただし, 時間 t = 0における質点の座標はx=0で あるものとする。 (A) 任意の時間における質点の加速度はいくらか。 vo -ct.vectic tooより、X=c=0より、04 +C (B) 時間 t = 0~∞の間に生じた変位はいくらか。 Sovit)dt = [ Vee jou 0 (C) 任意の時間における質点の位置を表す関数 f(t) を示しなさい。

熱力学の問題です！ 口の空いたフラスコなのでnの物質量も変わるのでこの場合はpv/t＝一定にならないのではないのですか？？ nも変わっているような気がするのですが、、

3RT Nam 発展例題 14 ボイル・シャルルの法則 X 口の開いたフラスコが, 気温 〔℃〕, 圧力か [Pa] の大気中に放置されている。このフ ラスコをt〔℃〕までゆっくり温めた。 次の各問に答えよ。 〇 (1) このとき, フラスコ内の空気の圧力はいくらか。 <(2) 温度がな 〔℃〕 から 〔℃〕 になるまでに, フラスコの外へ逃げた空気の質量は, はじ めにフラスコ内にあった空気の質量の何倍か。 指針 一定質量の気体では,圧力,体積 V, 温度 T の間に, pV =一定の関係 (ボイル・ T シャルルの法則) が成り立つ。 フラスコの外へ逃 げた空気も含めて, この法則を用いて式を立てる。 解説 (1) フラスコは口が開いており, 大気に通じているので, フラスコ内の空気の圧 力は大気圧に等しい。 したがって か [Pa] (2) フラスコの容積をV[m²] とし,温める前の t〔℃〕, p 〔P〕, V[m²] のフラスコ内の空気が, 温めた後, t2 [℃] [P][P] V' [m²] になったと する。 ボイル・シャルルの法則の式を立てる と, PIV P₁V' 273+t₁ 273 + t2 = と表される。 273+t2_ これから, 273+t1 フラスコの外に逃げた空気の体積 ⊿V は , 4V=V'-V=Vx- m t₂-t₁ 273+t₁ 温める前にフラスコ内にあった空気の質量を m,外に逃げた空気の質量を⊿m とすると, Am AV V' Am V'=Vx m が成り立ち. VX. VX 発展問題 132 t₂-t₁ 273+t1 273+t2 273+t₁ = t₂-t₁ 273+t₂ 倍

5-c, 6-bを教えていただきたいです

5) 図 4.2 に示すように抵抗値 R の抵抗と容量Cのコンデンサが接続された回路がある. 入力を電圧e(t), 出力をコンデンサ両端の電圧vc (t) とする. 問5)においては, t=0 で 回路は静止状態にあるものとする. 静止状態とは,すべての素子に流れる電流,及び 素子両端間の電位差が0である状態をいう. a)この回路の入出力間の伝達関数H(s) = Vc(s)/E (s)を求めよ. ここで, Vc(s), E(s)は, それぞれ, vc(t) とe(t) のラプラス変換である. b)この回路に入力として, 高さ のステップ電圧e (t) = vou(t) を与えた時の出力vc(t) を求め,さらに図示せよ。 ただし, v > 0 とする. c) この回路に入力として, パルス幅Tで高さv のパルス電圧を与えた時の出力v(t)を 求め,さらに図示せよ。このとき, 入力e(t) は,式 (4.2) で定義したパルス波p (t) を 用いて, e(t) = vop (t) と表すことができる. し 単位ステップ関数をuct)として Pit) = u(t) - ult-Ti) e(t) R C vc(t) 図 4.2 RC 回路 6) 図 4.2の回路の入力として, パルス幅T」で高さ v のパルス電圧を周期Tで繰り返し与 える.ただし,T> T1 とする. 十分に遠い過去から入力が与えられ, t≧0では回路が 定常状態に達しているとする.定常状態では, vc(t) = vc(t + T)となっている.この とき,0≤t<Tの1周期の出力を求めたい. a) 図 4.2の回路で, vc (0) 0の場合の, E(s)とVc(s) の間に成り立つ関係式を求めよ.こ こで, Vc(s), E(s) は, それぞれ, vc (t) とe(t) のラプラス変換である. b)上記 a)で求めた関係式を用いて,入力e(t)としてvop(t)を与えた時の出力v(t)を求 めよ.ただし, vc (0) は未知数として残したままで解くこと. e) 上記 b)で求めた式で, vc(0) = vc(T)の関係を用いてvc(0)を求めよ.

全然あっている気がしません... 解説してくださるとありがたいです😭 回答よろしくお願いします🙇‍♀️

e 1. 加速度 α(t)=bexp(-ct) で直線運動する質点がある. ここで, bとcはともに正の定数である. ま た, t=0のときの速度を0とする. (2点) (i) この質点の速度v(t) を求めなさい, saitht=Sheket)dt だよりV10)=V=0 7 bselect)dt = b ≤ e-c+²+ + Vit) 解 V beter (i) 十分長い時間が経過した後の速度 (0) を求めなさい. V100)=lim²VA2 -0 +->00 解¥100)=0 2. 速さに比例する抵抗を受けながら鉛直下方に落下する質量mの物体の運動について考えよう。 鉛 直下向きに軸をとり, 物体の速度をv=dx/dt とすると, 物体の運動方程式は, dv m = mg-ku dt となる.gは重力加速度, k は抵抗力に関する比例定数である. (4点) mg (i) v-- = X とおいて, 運動方程式を変数 X で書き直しなさい (dx/dt=... の形にする). k mg-(X-V)k 1 MI AX 詳 dy d-t (笑) in ==-(X-V)カー AV 1 X/² - #2 #² - (i)(i) の解を時間tで積分し, 速さを求めなさい。 ただし, t=0のときv=0とする. St Sdx - Pr (4²= 7+ C² (C²(22) im dr +C² dv. 72 7² + 201 t=0より、V==e^ m V(t)= (iii) t = ∞ のときの速さを求めなさい. 解