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標準問題
子の速さを1,真空のクーロンの法則の比例定数を ko とすると, 軌道半径rはe, m, ko, v
との間にはたらく静電気力を向心力として, 等速円運動をしていると考える。このときの電
を用いてア=ア] と表せる。 軌道の周の長さ 2πrは, 量子条件より, 正の整数(量子数)
20原
124
A)
必147.〈水素原子モデル〉
次の文中の「ア]から「カに適切な数式や数値を入れよ。
ボーアは水素原子の構造に関する次のようなモデルを提唱した。
n, プランク定数hおよびm, uを用いて, 2πr=_イ」と表せる。この式は,ド·プロイに
よって物質波の考えが導入されて以降,「2πrが定常状態の電子の波長(ド· プロイ波長)の
整数倍である」と考えられるようになった。これらの関係から, 量子数nの定常状態の軌道
半径r,はe, m, ko, h, n, π を用いて, グカ=ウ」と表すことができる。n番目の定常状
態にある軌道上の電子の全エネルギー Enは, 電子の運動エネルギーと,静電気力による位
置エネルギー(無限遠を基準とする)の和より, e, m, ko, h, n, π を用いて, En=エ
と表される。このように, ボーアは水素原子の中で定常状態にある電子は,とびとびのエネ
ルギー準位をもつという仮説をたてた。
ボーアの水素原子モデルにおいて, 電子が n=1 の定常状態にあるときを基底状態, n>2
の定常状態にあるときを励起状態という。量子数nの励起状態にある電子は,きわめて短い
時間で量子数n'("'<n)の状態に移り,その差のエネルギーを光子として放出する。このと
き,放出される光子の波長入は振動数条件から, 真空中の光の速さcおよび e, m, ko, h,
n, n', π を用いて, ー%=Dオ]と表される。
水素原子の示す線スペクトルの観測結果から得られた輝線の波長入は,リュードベリ定数
Rを用いてー=Rー)の規則性をもつことが示されていた。 ボーアの水素原子モデ
ルによるリュードベリ定数の計算結果は, すでに知られていたリュードベリ定数の値と高い
精度で一致し,水素原子のスペクトルを理論的に説明することに成功した。リュードベリ定
数 R=1.1×10'/m とすると, 水素原子の線スペクトルのうち, 可視光線領域
(3.8~7.8×10-7m)の輝線群の2番目に長い波長は, 有効数字2桁でカ
1
1
2
n
Im と計算できる。
[20 九州工大 改]
