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以下の問I、IIに答えよ。
また、結果だけでなく、導出過程も簡単に記すこと。
I長さの異なる紐をもつ二つの振り子の問題を考える。図1の
ように』軸の正の方向を鉛直下向きとし、振り子の支点は2軸
上にあるとする。それぞれの振り子につけられている質量m
のおもりは鉛直下向きに重力を受け、2軸に垂直な面内を運動
する。紐の長さはそれぞれい,であり、4>&とする。おも
りの大きさや紐の質量は無視でき、運動の際に組はたるまな
いとする。重力加速度をgとして、以下の問いに答えよ。
まず、支点でのまさつの効果を無視し、二つの振り子が独立に運動する場合を考える。紐の長
さがん,&の振り子の振れ角を、図1のように支点を通る鉛直下向きの軸となす角度として、そ
れぞれ1,2とする。
図1
(1) 紐の長さが1の振り子のz軸まわりの角運動量 L。を求めよ。
(2) z軸まわりの角運動量 L,の時間微分の満たす方程式を示せ。
(3) が十分小さい微小振動のときの固有角振動数 w」を求めよ。
次に、二つの振り子の角度間に線形の相互作用がある系を考えよう。すなわち、Jを定数とし
て、角度6,2 の運動方程式が
d?
=-w +J(B2 - h),
d2
2= -5 + J(G,- Ba),
と表せるとする。ここでwとwaは相互作用がないときの振り子の固有角振動数である。
(4) (t = 0) > 0, 0z(t = 0) = 0から静かに運動を始めるとき、その後の運動を基準振動の考
え方を用いて定性的に説明せよ。
dA
dp
0,
dt
振り子の角度0を振幅 Aと位相ゅを用いて0= Acos ¢ と表すと、単振動は、
と表される。ニつの振り子間に非線形相互作用があるとき、二つの振り子の位相1と2の時
間発展は上記のwiとw2を用いて次のように表せるとする:
=W
dt
d
の1=wi+ K sin(¢2- ),
d
2= w2+ K sin(¢- p2).
dt
dt
ここでKは定数とする。二つの位相の差 △¢ = 2- のが時間依存せずに一定の値をとること
を「位相が同期する」という。
(5)位相が同期するときの位相差△がと固有角振動数の差 Aw = w2-wiの関係を求めよ。
(6) 位相が同期するときの振り子の角振動数”を求めよ。
(7) 位相差 AゅがAがから微小にずれても、十分時間が経った極限で位相が同期する条件を導
き、その条件をKとAwを軸とする平面上の領域として図示せよ。
