2. 電子の内部状態を考察するため、 次の交換関係を満たすエルミート演算子 S1, S2 S3 を考える:
[SS2]=iS3
[S2,Sa]=iS1
[S3.Si]=iS2.
(1) S2 = S} + S2 + S7は任意のSi (i=1,2,3) と可換であることを示せ。
(2) St:= S1 ±iS2(複合同順) とおくとき、 次の交換関係を示せ:
[S3, St] = ±S土 [S+,S_] = 2.S3.
(3) |+) を Ss+) = -+), S+|+) = 0 を満たす S3 の固有状態とする。 この状態 (+) は の固有状態
となることを示しその固有値を求めよ。
(4) |-> を |-) := S_+〉 で定義する。 この状態 |-> は S3との同時固有状態となることを示しそれ
らの固有値を求めよ。 またS_|-> = 0 を証明せよ。
(5)以上のような演算子と状態の組が2種類あるような合成系を考える: {${",|a}(1)}==
}i=1,2,3,a=11
{S(2),\3)(2)}i=1.2.3.83=±ただし、S^^) と S(2) は全て可換であるとする。この合成系における任意
の状態は、(a) (1) (3) (2) (0, 3=±) の4種類の基底ベクトルで表され、 合成されたスピン演算子
SiS(1) + S(2) (i=1,2,3) はこの合成系の状態に
Sila)(1)(3)(2) = (${1/(a)(1)(3)(2) +a)(1)(S{(2)(3) (2))
のように作用する。 この合成系における S3, 32 の同時固有状態を上記の4種類の基底ベクトルの
線型結合で表し、それぞれの固有値を求めよ。 ただし規格化は行わなくてもよい。
