6.2 変分法
質点系の場合に第1章で述べた, 作用積分の変分と,それによって導かれるラグラ
ンジュ方程式やハミルトン正準方程式などについて場の理論へ拡張した形式を記して
おく、
前節で述べた L(ゆ,中山(x))は, 質点系の場合の L(qg,4)に対応するから, 作用積分
はそれを時間tで積分したものである;
t2
J(の) =
-| 1101(0(a)、中(2)
dt
ti
= 1エ(がは)、の()
この作用積分の両端を固定した変分をゼロとおくことにより, 場の運動方程式がえら
れる。時空点 " における場の量の変分 6° (x)を考えて
「aL(φ(a'),中μ()) so (x) +
OL(6(r)、の()56° ju
O0°u(2)
6J
L60 ()
三
0p(x)
30
(6.2.2)
この第2項の60uは z" を固定した変分であるから
(6.2.3)
60= 60,°(z) = 0,66° (z)
である。それゆえ, 第2項を部分積分して, z→ ○0で6が(x)→ 0, およびt=Dt,tな
で
(6.2.4)
60°(z, t) = 66°(,tz) = 0
を用いると,
6()= |
OL(¢(r'), ¢u (2'))
d*r
「OL(¢(z'),@ル (ポ)
00°,
0p(z)
Te
(6.2.5)
OL(OE) C () 160)
OL(o(z), ¢.v (エ))
0g(z)
0= (2)。9
00°p
