■重積分...積分領域が変数に依存する場合
○ 右図1のような立体 [分かりやすくするために階段
状に表示しているが, 実際は滑らかな局面で囲まれて
いるものとする] の体積 (縦棒の体積の総和)は,面
積要素 ds=dxdy に高さz=f(x,y) を掛けて得られる体積
要素
dV=f(x,y)ds=f(x,y)dxdy
の総和として, 定義域D上の重積分
JSpf(x,y)dxdy
で求めることができます.
of(x,y) が連続関数で,各変数の定義域が α≦x≦b,
asysであるとき､この重積分は
cb
[ { [ f(x, y)dx } dy ...(1)
a
[ { [ f(x, y)dy } dx...(2)
のように, 1変数の積分の繰り返しによって行うこと
ができます.
(1) は右図2のように, まず変数yを固定して,各々
のyについて,xで積分し(図で示した壁の面積S(y)
を求めて),次にy の関数として表されたその面積を
y で積分することによって体積を求めることに対応し
ています｡
(2)は図3のように,初めに x を固定してyで積分
し, 図で示した壁の面積S(x) を求めて、次にxで積分
するものです。
-1
○変数の定義域が 0≦x≦1,0≦y≦xのよ
うに他の変数に依存しているときは
T! { [ f(x, y)dy } dx
0
または 0≦ysl, exslとして
L' { [' f(x, y)dx } dy
または
D
のように計算できます。
一般に,図4 (その平面図が図5) のように積分領
域Dの境界線が長方形でなく, 変数x,yの値に依存し
ている場合
図2
図3
図4
図5
図6
B
y
88
a
S(x)
b(v)
a(y)
領域D
B(X)
_s(y)
y
b(y)
X
