[1](50 点)n×n実対称行列について考える。そのような行列の固有値は全て実数で
あり,重複度を含めてn個存在することが知られている。このとき,次の小間(1)と(2)
に答えよ。
(1) 次の3×3 実対称行列Aについて考える。
3
0 -1
A=
0
2
0
0 3
(a) 行列Aの固有値入,,入2, Agを計算せよ、ただし入> gとする。
(b)行列Aの各固有値入,入2,Agに対応する固有ベクトル v1, v2, V3を求めよ。
ただしv, V2, Vzは正規直交基底となるように選ぶこと、
(C) 行列Aに対し, A = P" DPを満たす3×3 実対角行列Dおよび3×3実行列Pを求
めよ。
(2) n×n実対称行列Bについて考える。ただし, n 個の固有値入」,A2,…, Anは全て異
なると仮定し,入> Az> …> An とする。
(a)各固有値入,入z,…,Anに対応する任意の固有ベクトルをv, V2,…, Vn とする。
このとき,V1,V2,…, Vnは互いに直交することを証明せよ。
(b) 任意の実ベクトルxに対して,x" Bx > Anl|||| 2が成り立つことを証明せよ。
ただし,||||はベクトルxのノルム(2 ノルム,ユークリッドノルム)を表す。
