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3 単調数列とコーシー列
25
SO
★★
基本 例題 020 数列の発散と収束する数列の有界性
α>2として,数列{a}を次のように定める。
(本
a=a2-2, an+1=an2-2
この数列は正の無限大に発散することを示せ。
指針 数列{an} が単調に増加することを示す。
解答
収束する数列{a} は有界である。
2より a2
数列{a} が正の無限大に発散することを示すために, bn= 1
束することを示す。 このことは,次の定理により示される。
定理 収束数列の有界性
として, 数列{6} が 0 に
an
PD
(称号の向きは変asaz
262
以下, 帰納的にすべてのnに対して
an>2
単調減少
an-an-1=(an-12-2)-an-i= (an-i+1) (an-1-
-1-20
よって, 数列 {az} は単調に増加する。
ancian.
(+(-2) 271-2)
bn=- とおくと, 数列{6} は単調に減少する。
bn
1
an
また,すべてのnに対してb>0であるから,数列{bm}は下に有界である。
よって, 数列{bn} は収束するから,その極限値をβとする。
an>2より bn<-
2
21
an=12-2より1_1
(正の内に発話していること。
b2-2であるから
bn-12-bn-2bn bn-12
B2=β-233 より
β(β+1)(2β-1)=0
[n]
06/1/23より
β+1>0, 2β-1<0
よってβ=0
[s)
これはliman=∞ であることを示している。
n→∞
参考 定理 収束数列の有界性の証明
lima=α とする。 このとき、ある番号Nが存在して, n≧Nであるすべてのnに対して
N11
|an-α| <1 となる。
三角不等式により|an|-|a|≦|an-αであるから,n≧N であるすべてのnに対して|an|<|a|+1
が成り立つ。
ここで, M=max{|a|+1, |a|,|az|,......., | av-1|} とする。
このとき,Nの場合も、n<N の場合も |an | ≦M が成り立つ。
よって, 数列{an} は有界である。
注意 この逆は正しくない。つまり数列{az}が有界であっても、収束するとは限らない。例えば、
=(-1)" で定義される数列{an} は-1≦a≦1から有界であるが,振動するから収束しない。
