例題4 (線形写像の一般的性質)
線形写像7/: レー 素 について, 以下の命題を証明せよ。
(1) 7が単射でちるための必要十分条件は Kerアー{(0) である。
(2) が単射でもるとき, の1次独立なベクトル gi, gz …。 @。 の
による像(g), 7(gの, … 7(g) は 1 次独立である。
⑨ 7(g), 7(eD, …。(g。) が1次独立ならば, g。 gz … gmは1次 旧
BCFであら |
解説 | 給形写伯の一般的な性質を少 し調べておと う。 簡単な問題であるが.
慣れないと難しいかもしれない。
胡等] (1) 7が単射とすると, 明らかに Kerげ= (0)
逆に, Kerア= (0) とする。
7(の) =ニf(6あ) とすると, のーーの=0 。 …. fg一の=0
Kerげテ (0) より, g一5テ0 . g三の すなわち, は単射である。
よって, が単射でもちるための必要十分条件は Kerげー {0} である。
(注) 一般に, 写像/:4 一玉が単射でもるとは,
のキg。 ならば 7(@) キ7(の>)
であることをいう。
この対偶を考えれば, 単射とは
げ(q) テニ(2。) ならば giの2
であると言ってもよい。
⑫⑳ (eg)十を7(g2)二…十ん7(g)う0 とすると をここがスタート
プげ(をigi十んzgz十… 十んた。g)王0 やアの線形性より
gi二太gzキ…十ug王0 とアは単肝であるから。 Kerアー人9
gg …。 の。 は1 次独立なので
んューをs三…三ん。三0 年 ここがゴール !
よって, 7(@), 7(gの, …。 (eg。) は 1 次独立である。
