【中学受験算数】Ⅵ-05. 多角形

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まっちゃん

教科書ではあまり出てこない多角形ですが、
御三家はじめ多く出題され、2026年度も女子学院などで出題されてますね

2026.03.08 公開

中学受験算数正多角形円内角外角

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ノートテキスト

ページ1:

多角形 - 1.円
●円とは、1つの中心からの長さが等しくようにかいたまるい形
●円の中心から円周の点までの線の長さを半径という。 半径は全て同じ長さなので、 中心と円周上の2点を繋
いだ三角形は、必ず二等辺三角形になる
(1) 円の定義
【定義(最初に決めた出発点) 】
(3)円と角度
円の中心から円周上の点までの
長さ(=半径)がみな等しいため、
二等辺三角形になる
角の大きさが
等しい
中心
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|2026/03/07
円 1つの点から長さが
等しい点の集まり
直径
中心
円周 円のまわりのこと
半径
半径 : 中心と円周上の1点を結んだ
円周
線の長さ(どれも等しい)
直径 : 円周上の1点から中心を通って反対側の円周まで
ひいた長さ
円周角
中心角: 円周上の2点と円の中心
を結んでできる円の中心
にある角
中心
円周角: 円周上の2点と、円周上
のもう1点を結んだ線分の
なす角
中心角
(2)円の性質
円周上の点と直径を結んでできる
三角形は、 直角三角形になる
【成り立つ理由】
中心OとAを結んで二等辺三角形を作る
三角形OAB、 三角形OACは
どちらも二等辺三角形になり、
●同士、○同士の角の大きさは等しい
三角形ABCの内角の和は180°より、
● + ● + ○ + O = 180°
したがって、 角Aは + ○ = 90°
(円周角の定理)
円周角の大きさ
直径= 半径×2
=中心角の大きさ +2
直径は、円の中に引いた直線の中で最も長い
【成り立つ理由】
上と同じ。 180°を中心角と読み替える
#
th
C
○
中心
円周角
<中心
1

ページ2:

多角形 2. 正多角形
● 正多角形は、辺の長さも角の大きさが全て等しい多角形で、 円周を等分した点を順にむすんだ図形
(2)対称
(1) 正多角形
> 正多角形: 辺の長さも角の大きさも全て等しい多角形
円周を等分した円を順に結んだ多角形
線対称: 1本の直線を折り目として2つ折りにしたときに
両側の部分がぴったり重なる図形
正五角形
正六角形
【性質】
【定義】
軸
軸までの ▼ 軸で分割した
距離が同じ
2つの図形は同じ面積
点対称 1つの点を中心にして180°回転させたときに、
元の図形にぴったり重なる図形
【性質】
▼中心までの ▼中心を通る線で分割した
距離が同じ 2つの図形は同じ面積
正N角形の中心角=360 N
正五角形
正六角形の一辺と
正六角形 同じ正三角形が
6つできる
【定義】
360°+5
= 72°
360°+6
=60°
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中心
中心
中心
(例) 右図は正十角形です。 xは何度か?
A
(解) 正十角形の中心から補助線を引くと、
∠AOB = 360° ÷ 10×3 = 108°
三角形OACは二等辺三角形より、
∠OAB = (180-108)÷2=36°
B
中心角∠AOC = 360°+10=36°より、
∠OAC = (180°-36°) + 2 = 72°
したがって、 x = 72°-36°=36°
正三角形
正方形
正五角形
正六角形
中心角
120°
90°
72°
60°
内角(1点)
60°
90°
108°
120°
線対称
3分なので
中心角も3個分
点対称
×
×
対角線
0本
2本
5本
9本
2

ページ3:

多角形 - 3. 多角形の角度
● N角形の内角の和=180°× (N-2) (例:五角形ならば180°(5-2)= 540°)
●N角形の対角線の本数=Nx(N-3)+2 [本] (例: 五角形ならば5×(53) +25[本])
(1) 内角・外角
N角形の内角の和=180°x(N-2)
【成り立つ理由】
(2) 対角線の数
N角形の対角線の本数=Nx(N-3)+2 [本]
1つの頂点から、となりの2つ以外の頂点に
対角線を引くことができるので、
五角形の場合、
頂点53
2本ずつ
となりの
1つの頂点から引ける対角線の数はN-3本頂点
N個の頂点があるので、 対角線の数は
(N-3)×N本引けるが、
【成り立つ理由】
1
3
1つの頂点から、となり以外の頂点に直線を
引くと、 三角形ができるので、
2
N角形は、 N-2個の三角形に分けることができる
三角形の内角の和は180° なので、 180°×(N-2)
N角形の外角の和=360°
五角形の場合、
3個の三角形に
分けられる
【成り立つ理由】
1つの頂点で、内角 +外角= 180°
N角形の内角と外角の合計は、 頂点がN個
あるので、 180°×N
内角の合計は、180°× (N-2) なので、
外角の合計は残りの 180°×2=360°
となりの
X頂点
おたがいの頂点から重複して数えているため、
おたがいの
頂点から重複して
カウント
(N-3)xN2 [本]
(3) 星型の角度
五角形の場合、 対角線は5本で一筆書きすると星型になる
一筆書きの角度の和は、真ん中の多角形の外角の和を利用
A
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(例) 右の5つの角度の大きさの和は?
正多角形でなくて、 普通の多角形でも成り立つ!
(例) 内角の1つが150°の正多角形は何角形か?
(解) 内角+外角=180°なので、
外角= 180°-150°=30°
(解) 真ん中の五角形に注目して、
それぞれの角の外角に●をつける
五角形の外角の和は360°なので、
この合計= 360°
B
同様に、○の合計=360°
E
外角の和は360°なので、 360 30 12個頂点があるの
で、正十二角形
外側5個の三角形に注目すると、
C
(別解) 内角に着目すると、 180°× (N-2)÷ N = 150°
N=360+30=12 なので、 正十二角形
※内角に注目すると逆算しづらいので、そのときは外角に注目!
求める角度の大きさの和+の合計+○の合計
=三角形内角の和×5
になるので、 求める角度の大きさの和は、
180°×5-360°-360°=180°
3

ページ4:

多角形 - 4. 正多角形の角度
● 正多角形の角度を求める問題は、外接する円の特性を使って解く
●特に、 偶数の正多角形の場合、 一番遠い対角線は直径となり円の中心を通る
(1)外接円の活用
> 正多角形の角度を求める問題の解くときには、
外接する円とその中心をかいて活用する
①中心と2頂点の結ぶ二等辺三角形を活用
> 中心角=
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辺の数
角あたりの中心×辺の数
二等辺三角形
中心角
(例) 右図の正八角形の場合
辺の数が3つなので、
360°
キ
8
中心角= x3 = 135°
中心と結んだ三角形は二等辺三角形
②線対称を活用して、 等脚台形を見つける
頂点同士を結んだ直線
同士は平行になる
> 等脚台形の場合
◯+ = 180°
③直径と頂点を結んでできる角は直角
軸
頂点の数が偶数の正多角形の場合、
一番遠い頂点同士を繋ぐと直径になる
直径ともう1つの頂点との間でできる
角は90°(円周角の定理より)
直径
0
4