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等差数列 4. 等差数列の応用
だんだん数が減っていく等差数列の場合、 n番目の数 = はじめの数公差x(n-1)
● 群数列は、 数列をある一定の規則にもとづいてグループに区切った数列
(1) 減っていく等差数列
だんだん減っていく等差数列の場合、
番目の数はじめの数公差x(n-1)
(初項)
数
(例)あるきまりにしたがって、下のように左から順に分数をならべたとき、
はじめて1より大きくなるのは何番目の数ですか?
1
3579
100'97'94'91'88'
(解)はじめて1より大きくなるのは、分子〉分母となるとき
分子は、 初項1で2ずつ増える等差数列
分母は、初項100で3ずつ減る等差数列
なので、数列が1つずつ進むごとに2+3= 5 ずつ差がつまる
+2 +2 +2
分子
13 5
分母
+2
100-199
94 97 100
-3
-3
最初、 100-1=99の差があるので、 99÷5=19あまり4より、
20番目(初項を除いて19番目)の次の21番目で分子> 分母となる
分子: 1 + 2×(21-1) =41
分母:100-3×(21-1)=40
旅人算の考え方を
41
したがって答えは
40
応用
(2) 群数列
> 群数列 数列をある一定の規則にもとづいて
グループに区切った数列
群数列を解く場合には、試しに色々計算してみて、
ルールを見つけることが大切
(例) |1|2,3,45,6,7,8,9|10,
【ルール】 群の中の数の個数は、 1個 3個 5個 ・・・
となり、 奇数の等差数列
1112, 3, 4 1 5, 6, 7, 8, 9 | 10, ...
|1|2,3,45,6,7,8,9|10,
1個
2個
3個
(例) 上記の群数列で、 10番目の群の中の数の個数は?
(解)1+2×(10-1)=19個
【ルール2】群の最後の数は、 1,4,9, ・ となり、平方数
...
|1|2, 3, 4 | 5, 6, 7, 8, 9 | 10, ...
=1x1 = 2x2
= 3x3
(例) 20番目の群の最後の数は?
(解) 20×20=400
(例)200は、何群の何番目ですか?
(解)14×14=196、 15×15=225なので、
15群の4番目
196 | 197,198,199,200
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|2026/2/23
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等差数列 1. 等差数列
● 等差数列とは、 次の数が前の数にある一定の数をたしたり、 ひいたりして作られる数列
● 等差数列の和は、 (はじめの数+ 終わりの数)×個数 +2
(1)等差数列
すうれつ
数列: ある決まりにしたがって順に数をならべたもの
とうさ
> 等差数列: 次の整数が前の整数に同じの整数をたしたり、
ひいたりして作られる数列
(例) 2,5,8, 11, 14, ･･･
+3 +3 +3 +3
こうさ
公差: 一定の数 (たしたりひいたりする整数) のこと
(2) 等差数列の和
【公式】 等差数列の和
等差数列の和= (はじめの数 + 終わりの数)×個数2
(例) 2,5,8,11,14をすべて加えると、 いくつになりますか?
(解) 公式を使用すると、 (2+14)×5 + 2 = 40
【公式が成り立つ理由】
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2026/2/28
【公式】 等差数列のn 番目の求め方
もとのたし算と逆に数字をならべて、上下 (たてに) たしてみる
=
番目の数 はじめの数 + 公差x (n-1)
(初)
間の数
2 + 5 + 8 + 11 + 14
14
11
(例) 上例の等差数列で10番目の数は、2 + 3×(10 - 1) = 29
+)
14 + 11 + 8 + 5 + 2
8
−5個
5
16 + 1 + 16 + 16 + 16
14
元の数列 258 119 12-13×10 -1 = 29
「逆に数字を
16
5個 (個数)
ならべる
(別解) 公差である、3の倍数と比較すると、 -1すると元の数列
1番目
3の倍数: 3,6,9,12,15,
(例) 上例の等差数列で、 100以下の中で最も大きい整数は?
(解) 2
間の数
3
8
100
最初が1番目なので、
間の数より大きくなる
(100-2)+3=32あまり2より、 33番目の整数で、
2 +32×3 = 98
(別解)3で割ると2あまる整数の数列になっているので、
100÷3=33あまり1
整数 100 99 98
②同じ式をたし合わせているので、個数分たし合わせて2でわる
16×5 + 2 = 40
上: はじめの数 (初項)
下底 終わりの数
高さ: 個数
その台形のイメージ
の2個前の整数があまり2となる。
あまり 1
02
したがって、 100-2=98
-1 -1
1

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等差数列 3. 倍数と等差数列
●pでわるとrあまる整数の数列は、はじめの数が で、 pずつ増える等差数列
● 条件が2つある場合には書き出すことで最初の数を見つけ、以降はわる数の最小公倍数ずつ増えていく
(1)倍数に関する問題
pでわるとあまる整数の数列
はじめの数(初項)で、ずつ増える等差数列
(例)6でわると2あまり、8でわると4あまる整数を小さい順に
ならべます。300に最も近い整数は何ですか?
(解)
①最初の整数 (初項)を求める
「とにかく書き出す」のが手っ取り早い
(2) 複雑な問題
(例) ある規則で並んだ100個の分数があり、 約分できる分数は全て
約分すると次のようになりました。
113
2'2'8
537 9
4'4'2
,2,1
8
•,50
約分したあとの100個の数のうち、 整数は何個ありますか?
(渋谷教育学園渋谷中学 / 2026年)
でわると 2
8
14 20 26 32 38 44
50
2あまる
4 12 20 28 36 44
52
8でると
4あまる
最初の整数 (初項) は20とわかる
②増える整数 (公差) は、 わる整数の最小公倍数
公差は、 6と8の最小公倍数となる24
3 目標となる前後の整数を調べて、近い方が答え
初項以降、 (300-20)+24=11あまり16なので、
この数列の12番目 : 20 + 24×11= 284 初項を除くと11番目
あるいは、300-16=284 でも良い
この数列の13番目 : 284 + 24 = 308
となるので、 300により近い整数は、308
(解) 分子は、1,2,3,4,5,6,･･･ と連続する整数、
分母は、2,4,8 の3個の整数のくり返しになっている。
約分して整数になる分子は分母の倍数になっている
ことに着目すると、 分子を3個区切りで見たとき、
(i) 分子が3で割ると1あまるとき、 分母は2。 分子は初項4、
公差は、2と3の最小公倍数である6の等差数列となるので、
分子が100までで約分すると整数になる個数は、
(100-4)+6=16より、 初項も含めると17個
(ii) 分子が3で割ると2あまるとき、 分母は4。 分子は初項8、
公差は、4と3の最小公倍数である12の等差数列となるので、
分子が100までで約分すると整数になる個数は、
(100-8)+127あまり8より、 初項も含めると8個
(iii) 分子が3で割りきれるとき、 分母は8。分子や初項24、
公差は、8と3の最小公倍数である24の等差数列となるので、
分子が100までで約分すると整数になる個数は、
(100−24) +243あまり4より、 初項も含めると4個
前の数の次の数は、
公差をたす
したがって、全部で 17 +8 + 4 = 29 [個]
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