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算数

中学受験予習シリーズ算数4年上解説ポンチ絵集

267

まっちゃん

いつも公開させていただいているポンチ絵集を、四谷大塚や早稲田アカデミーなどで使用しているテキスト「予習シリーズ」のカリキュラムに従って再編しました。
お子様だけでなく、中学受験のご経験がないお母様・お父様にも参考にしていただければと思います。
お子様に説明するときに使う図としてもご利用ください。

2026.01.11 公開

中学受験算数予習シリーズ 4年上

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ノートテキスト

ページ1:

中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
ポイントまとめノート
(2025年度版)
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中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第1回
かけ算とわり算の文章題
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1.1. 整数のかけ算
●積はかけ算の答え。 図で表すときは、 面積図を書くと表現しやすい
● 整数のかけ算の筆算をするときは、かける数の下の位から順番に計算する
(1) かけ算
同じ数をくり返したす場合、かけ算を使用
積 : かけ算(x)の答え
<線分図でのかけ算のイメージ>
0
22
(2) 整数のかけ算の筆算
かけ算の筆算をするとき、 かける数の下の位から順番に
計算し、得られた数を最後にたし算
(例)
かけられる数・・・ 123
かける数･･･ ×45
20
2
=2x1
2 + 2
=2x2
123
x 45
+2 +2 + 2
10個
123×5= 615
+ 2
= 2x10
<面積図でのかけ算のイメージ>
かけ算を見たら、 長方形の面積に置きかえて、
面積図に書くと手掛かりになる
10
積
2
2×10= 20
123
x 45
615
123×4=492
123
× 45
615
615+ 492
49205535
① 123×5を計算して、
1行目に615と書く
② 123×4を計算して、
2行目につけたずらして492と書く
③ 1行目 (615) と
2行目 (4920)をたす
2

ページ4:

1.2. 特別な整数のかけ算
終わりに0がつく整数の場合、 0をはぶいて計算して、最後にはぶいた0を全てくっつける
●複雑な計算も交換法則や結合法則を使って、 100や1000などを作ることで簡単に計算できる
(1) 終わりに0がつく整数のかけ算
終わりに0がつく整数同士のかけ算の場合、0をはぶいて
計算 最後に0の数分くっつける
(例)1230×4050049815000
1230
0はそろってなくてもOK!
× 40500
×
1230
40500
0をはぶいて、 0 以外の数字の
一番下の位をそろえて書く
(2) 整数のかけ算のくふう
交換法則・結合法則を組み合わせると、
たし算だけの式は、どの順序でたしても答えは同じ
かけ算だけの式は、どの順序でかけても答えは同じ
順序を変えたり分解して工夫すると、 楽に計算できる
【法則】 ※具体的な数字で書いていますが、 異なる数字でも成立します
こうかん
•
交換法則
32×125=125×32
(3×4)×53×(4×5)
けつごう
結合法則
結合法則を使って、 たしたり、 かけたりすることで、
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615
492
123×0の計算は0なので、
書かなくてよい。
100や1000になる計算を先にやる
ただし、次の行のけたの位置に注意!
ロ 25×4=4×25 = 100
ロ 125×8= 8×125 = 1000
おぼえると便利!
1230
×
40500
615
492
↓下ろす
49815000
(例) 34×4×25=34×(4×25)=34×100=3400
100を作る
2×3×4×5= (2×5)x(3×4) = 10×12=120
10を作る
最後に、 はぶいた0 をくっつける
分配法則を使って、 たしたり、 ひいたりして100を作る
【法則】 ※具体的な数字で書いていますが、 異なる数字でも成立します
ぶんぱい
分配法則 4 ×14 + 6×14 = (4+6)×14
(例) 17×24 + 17×76 = 17×(24+76)=17×100=1700
100を作る
3

ページ5:

1.3. 整数のわり算
●商はわり算の答え。 わられる数=わる数x+あまり
わり算の筆算をするときは、大きい位から順に計算
(1)わり算
同じ数をくり返しひく場合、わり算を使用
(2) 整数のわり算の筆算
> わり算の筆算をするとき、大きい位から順に計算
(例)500÷12
12) 500
: わり算(+)の答え
わられる数とわる数の関係
(あまりが0の場合もあり)
わられる数
商
+ わる数
あまり
12×4= 48
50-48= 2
12) 500
①わる数が2けたなので、 50÷12をすると、
4あまり2なので、上に4、下に2とかく
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わられる数 =わる数 × 商 + あまり
②次の位である一の位である0を持ってくる
(下ろす)という
③ 2012 をすると、 1あまり8なので、
上に5、下に0とかく
4
ただし、わる数
> あまり
12) 5004
(例) 20+3=62
_48 下ろす
20
わられる数 20
わる数
41
12) 500
48
6つ 5つ 4つ
あまり
3つ 2つ 1つ
商
20
12×1=
12
20-12=
8
(例) ある整数を12でわって、 商を整数で求めたところ割り切れず、
商とあまりが同じになりました。 このような整数のうち、もっとも
大きい整数はいくつですか?
(答) わる数が12なので、 あまりの中で一番大きい整数は11。
そのため、商は11になる。
したがって、求める整数 (わられる数)は、
わる数×商 + あまり = 12×11 +11 = 143
500÷12=41 あまり8
4

ページ6:

1.4. 特別な整数のわり算
●終わりに0がつく整数同士のわり算の場合、 0を同数はぶいて計算し、 あまりにわられる数の
0の個数分くっつける
(1)終わりに0がつく整数のわり算
終わりに0がつく整数同士のわり算の場合、0を同じ個数
はぶいて計算し、 あまりにわられる数の0の個数分くっつ
ける
(151) 500 ÷ 20
消さない! 50 ÷ 2
=
25
25
わる数が1個なので、
わられる数も0を1個だけ消す
(2) わる数が0のわり算
わられる数が0以外、 わる数が0の場合、答えはなし
(答えになる数が存在しない)
10= (答えなし)
わる数もわられる数も0の場合、 答えは無数にある
0 0 = 無数にある(何でもOK)
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(例)512000÷1700=301あまり300
3
1788) 512088
17x3=
51-51=
51
0
千の位の2を下ろしても、
17より小さいため、商を0として、
右となりの百のくらいの0も下ろす
301
1760) 5120881
51 下ろす
あまりのときに
20
0を復活させる!!
17x1=
17
20-17=
300
5

ページ7:

1.5. 文章題
●2つ以上の量が出てくる文章題はいきなり式を考えるのではなく、図をかいて状況を整理して考える
●1つあたりの数量 (例: 1個〇円、○人ずつ) が出てくる場合は、 面積図で書くと頭が整理しやすい
(1)2つ以上の量が出てくる文章題
2つ以上の量が出てくる文章題はいきなり式を考えるのではなく、図をかいて整理する
(例) 白いご石と黒いご石がそれぞれ何個かあります。
白いご石は5g、 黒いご石は3gです。
全てのご石の重さは114gで、黒いご石は全部で13個ありました。
白いご石は何個ありますか?
(答) 黒いご石の重さの合計は、3[g]×13 [個] = 39[g]
(例) 小学校で水族館に遠足に行きました。 大人 (先生) 2人と子ども
(生徒) 20人の入園料は合計2250円でした。
(答)
子どもたち4人で行ったとき、 入園料は合計で400円でした。・・・②
大人1人の入園料は何円ですか?
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白いご石の重さの合計は、114-39 = 75[g]
白いご石は、 1個5gなので、 75[g]
5[g] = 15[個]
以下のような図をかきながら問題文を整理する
合計114g
1個あたりの量を
5555 333
横にならべる
9
?個
白いご石
13個
黒いご石
面積図でかくと... 面積がご石全体の重さであらわせる
5g OOOO
白いご石 合計 黒いご石
114g
13g
13個
1個あたりの量を
?個
たてに書く
白と黒の合計
?個
大人
子ども
入園料の
①:
( 入園料 ?円)
2人
( 入園料 : ?円)
合計
20人
2500円
4人
400円
②より、子ども1人あたりの入園料は、
400[円] +4=100[円]
1個あたりの量を
たてに書く
大人
合計
?円
2500円
子ども
500円
100円
2人
20人
大人2人分の入園料は、1の逆算で、
2500-100×20=500[円]
となる。したがって、大人1人分は、
500÷2=250[円]
6

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中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第2回
計算のきまり
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2.1. 計算の順序
計算は、 ① かっこの中 ②かけ算・わり算 ③たし算・ひき算の順序で左から計算
計算の3つの法則 (交換法則、 結合法則、 分配法則) を上手に使うと、 計算が楽に早くできる
(1)計算の順序
計算は次の決まりにしたがう
① かっこの中を先に計算
① 内側のかっこから順番に計算していく
(内側)( )→{}→[ ](外側)
小かっこ 中かっこ 大かっこ
(例) 33 - [3x{3+ (33-3)+3}-3] + 3 = 21
②かけ算・わり算を先に計算
③たし算・ひき算を左から順に計算
(2) 計算のくふう
交換法則・結合法則を組み合わせると、
たし算だけの式は、どの順序でたしても答えは同じ
かけ算だけの式は、どの順序でかけても答えは同じ
順序を変えたり分解して工夫すると、 楽に計算できる
【法則】 ※具体的な数字で書いていますが、 異なる数字でも成立します
こうかん
交換法則
(3+5:
32×135
けつごう
結合法則
(3 +
+
135×32
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(例)25 ÷ (1 + 2×2)=25÷(1+4) ・・・かっこの中のかけ算を計算
= 25+5
・・・かっこの中を計算
2
=5
・・・わり算の計算
3
↑ =の位置をそろえる
(例) 3 + 21 + {14-(4+3)}
=3+21 + {14-7}
( ) (小かっこ)の中を計算
=3+21 +7
=3+3
①'{} (中かっこ)の中を計算
･･･ ②わり算を計算
=6
･･･ ③ たし算を計算
↑ =の位置をそろえる
ぶんぱい
分配法則
+▲=3+ (+)
(3x4 ) x=3x (4x)
(++)x+x+x
(20-3) x=20x5-3x/
4×(2+. =4 x 2 + 4×
4x(10 =4×10-4×
Point 左辺から右辺だけでなく、 右辺から左辺も成り立つ
(結合法則の例) 10や100を先に作れると楽にかけ算ができる
32×25×4=32×25×4)=32×100=3200
(分配法則の例) 同じ数字のかけ算が並ぶときに、 まとめてからかけ算
314×12 + 314×2=314×(12-2)=314×10=3140
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2.2. 逆算(還元算)
●逆算とは、 わからない数を口として式を作り、 口に当てはまる数を求めること。 口の代わりにxなども使われる
□を求めるときは、普通の計算と逆の順序で計算。 ひき算・わり算は間違いやすいので注意!
(1) 逆算の解き方
逆算とは、わからない数を口 (やx)として式を作り、
その式から口に当てはまる数を求めること。還元算とも言う
【公式】
③かけ算
【公式】
①たし算
□xb= c⇒□=c-b
(例)xx3 = 15
□+ b = c⇒□=c-b
b
(例) x+2=5
x=5-2=3
x=15÷3=5
ax□=c⇒□=c+a
a+□= c⇒□=c-a
(例)3+x=5
x=5-3=2
②ひき算
- b = c => =b+c
(451) x-2=5
x=5+2=7
□=c⇒ =a-c
(例) 5-x=3
x=5-3=2
(151) 3xx = 15
x=15+3=5
a
④わり算
□+b= c⇒□=cxb
(例)x
3=5
b
x = 5x3 = 15
a
a□=c⇒□=a+c
(451) 15+x=3
x=15+3=5
a
b
b
9

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2.3. 複雑な計算・逆算
●複雑な計算も交換法則や分配法則を使って、 100や1000などを作ることで簡単に計算できる
●複雑な逆算を取るときは式の一部を大きな
(1)複雑な計算
にすると公式に当てはめやすい
複雑な計算も、 交換法則や分配法則を使うことで、
簡単に解くことができる
結合法則を使って、 たしたり、 かけたりすることで、
100や1000になる計算を先にやる
複雑な逆算では、式の一部を
大きな
にすると
公式に当てはめやすい
(2)複雑な逆算
□に関係しないところは、交換法則・結合法則を使いながら、
できる限り先に計算する
け算・わり算は先にやる
•たし算だけなら先にやる
・ひき算は先にやらない!
か
ロ25×4=4×25 = 100
おぼえると便利!
ロ125×8=8×125 = 1000
(例) 30-□×4 + 2 = 8
(例) 17+ 24+76=17+ (24+76) = 17 +100 = 117
100を作る
34×4×25=34×(4×25)=34×100=3400
100を作る
2×3×4×5= (2×5)×(3×4)=10×12=120
交換法則を
使って入れかえ
(解)□に関係しないたし算だけ先にやると、 (30+2)-□x4 = 8
とすると、 32×4
□×4を
□×4
=8
=32-8=24
□=24÷4=6
(例) (4 + □)×4 +444 (足立学園)
10を作る
( 4 + □)×4=44-4=40
分配法則を使って、 100や1000を作って分解して計算
頭の中で大きな
(4+)×4 を作って、
左側(左辺) に書く
(例)102×36 (100+ 2)×36 = 100×36 + 2×36 = =3672
314×98=314×(100-2)
=314×100-314×2
=31400-628
=30772
121×31-91×31+31×70
=31x(121-91 +70)
分配
|法則
= 31×100
= 3100
↑=の位置をそろえる
分配法則
同じ数字(○×31)の
かけ算
→交換法則より、
31×○でもOK!!
4 + □ = 40 + 4 = 10
□=10-4=6
↑の位置をそろえる
文章題は、「ある数」の答えが出そうな方を式にして計算する
(例) ある数に4を加えてから6倍するところを、 間違えて4で割ってから6を
加えてしまったため、 答えが9になりました。 正しい答えを求めなさい。
(解) ある数を□とすると、間違った式は、□4+6=9
□÷4=9-6=3
□ = 3×4=12
したがって、正しい答えは (12+4)×6=96
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中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第3回
角の性質
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3.1. 角の大きさ(角度)
●1回転は360°、 直線は180° (1/2回転) 直角は90° (1/4回転)
(1) 角度
●角度は角の回転の大きさ
(2) 角度の求め方
角: 1つの直線を、 1つの点のまわりに回転させて
できた図形
① 1直線の角
角度: 角の回転の大きさ
直線は180°なので、
135°
180°-135°= 45°
【定義】
辺
角
②1回転の角
頂点
辺
直線が1回転したときの角の大きさ=360°
1
1回転は360°なので、
直角=90°= 回転 > 直線 = 180°
回転
360°-45°=315°
45°
=半回転
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直角の
マーク
1-6
回転は何度?
360°x
360°+6=60°
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3.2. 対頂角、 垂直と平行
対頂角は、 向かい合った角
●2本の直線が垂直とは直角に交わる2本の関係
●2本の直線が平行とはどこまでのばしても交わらない関係
(1) 対頂角
(2) 垂直と平行
対頂角: 直線が交わってできた角のうち、向かい合った角
対頂角の大きさは等しい
垂直: 直角に交わる2本の直線
(例)[とmは垂直
m
d
aとbは同じ直線上にあり、
a=c
(同じ角度)
b=d
1-
bとも別の同じ直線上にあるので、
a、cはどちらも180°-bで同じ角度
(例)
32°1
aは対頂角なので32°
したがって口は、
180°-32°-90°= 58°
中学では
l⊥mと書く
平行 1本の直線に垂直な2本の直線。
平行な2本の直線は、 どこまでのばしても交わらない
(例) [とmは平行
直角は90°
171
b
直角のマーク
中学では
l||mと書く
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3.3. 同位角・さっ角
同位角とさっ角は全て同じ角度。 同側内角の和は180°
(1) 同位角とさっ角 ( 錯角)
> 同位角: 2本の直線に1本の直線が交わるとき、
同じ位置にある角
さっ角 直線の反対側にある角同士
同側内角
さっ角
同位角
> 直角 (90°) より大きい場合であっても、 同位角や
さっ角は成り立つ
鋭角 (直角より小さい) 鈍角(直角より大きい)
同位角
同位角
はそれぞれ全て同じ角度
さっ角
さっ角
と
同側内角: 1直線の「同じ側」にあって、
2直線の「内側にある角」。
2角の和は180°
M
=180°
14

ページ16:

3.4.補助線
●補助線とは、 図形に問題を解くための手がかりとなるように書き加える直線のこと
(1) 角度を求める問題に使う補助線
角度を求める問題では、 新たに線を引くと解けることがある
補助線: 図形に問題を解くための手がかりとなるように
書き加える直線
(2) 複雑な角度の問題
2025/3/13追記
直線が何本も引かれているような図形の角度を求める
問題では、関係ない直線 角度を見ないことが大切
(例) 口の角の大きさは何度ですか
平行が出てくる図形では、 平行や垂直な直線を引くと
解ける場合が多い
(例)
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250
口。
40°
20%
70°
35°
2つの直線に
平行な直線を引くと、
同位角やさっ角が
使える !
<ポイント>
求める角 (□) のまわりの
直線のみに着目し、
関係ない直線は見ない!
・直線にくっついている角の
大きさを、 同位角・さっ角を
利用して求める
(答)
25%
同位角
35°
400
200
□ = 25° +20° = 45°
さっ角
同位角
40°
7000
さっ角
350
180°-35°-40°=105°
15

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中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第4回
和と差の問題
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4.1. 線分図
● 線分図は、 複雑な文章題を整理するときに使う図
● 和はたし算の答え、 差はひき算の答え
(1)線分図
(2) 和と差
線分図 : 数の大きさを直線の長さで表して、大小の関係
を見やすく整理した数直線のような図
和: たし算(+)の答え
3
5
2025/3/8改定
直線が長い方が数が大きく、 短い方が数が小さい
> 線分図は2通りの書き方がある
①2つ以上の数量の、 その時の状態をかく
和: 3+5=8
2行に分けて書くこともある
(例)2人の年令･･･ 直線が長い方が年令が上 (大きい)
3
太郎くんの年令
9才
5
和: 3+5=8
お母さんの年令
32才
②時間の変化により変わる数量を上から順番にかく
(例) 二郎くんのお財布の中のお金･･･長い方がお金を多く持っている
ロ二郎くんは最初、 1000円持っていました。
1000円
差 ひき算 (-) の答え
8
3
差: 8-5=3
(例) 犬とねこは合わせて10ひきいます。
犬はねこより2ひき少ないです
最初
アイスを
アイス
その後、150円のアイスを買いました。
/150円
犬
買った後
財布の中にある残りのお金
(残額)
時間の
流れ
ねこ
2ひき
10
ひき
17

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4.2.2つの数量の和差算
和差算は、2つの量の和と差がわかっている時、 それぞれの量を求める解き方
(1) 和差算の基本
2つの量の和と差がわかっている時、 和差算を使う
(例) 和 (A+B)が30、 差 (B-A)が20 (Bの方がAより大きい)
のときBはいくつですか?
(2) 2桁÷1桁の数のわり算
2025/3/8改定
> 大きい数を1けたの数で割るとき、 わり算の筆算を使う
(例) 50÷2
解き方・考え方
①線分図を書く
B
2)50
2
2)50
①5 (十の位) 2 をすると、
2あまり1なので、上に2、下に1とかく
和
-差20
2x2= 4
30
5-4= 1
②求めたい量に合わせる
2
大きい量を求めたい場合、 和 + 差
小さい量を求めたい場合、 和一差
2)50
例の場合は
小さい方
4 下ろす
10
A
B
30-20=10
30-20=10・・・A2つ分
③求める量の個数でわる
10÷2=5
Bは、 (30 +20)÷2=50÷2= 25
B2つ分
※あるいは、Aがすでにわかってるので、 5+20 = 25 でもOK!
25
2)50
4
10
10-10=
2×5= 10
0
②次の位である一の位である0を持ってくる
(下ろす) という
③ 10 ÷ 2 をすると、 5 あまり0なので、
上に5、下に0 とかく
50÷2= 25 (あまり0)
18

ページ20:

4.3. 平均
● 平均とは、 合計 +個数で求める
(1) 平均とは
へいきん
平均: 何個かの数を同じ大きさになるようにならしたもの
(2)3つ以上の数量の平均
3つ以上であっても平均の求め方は同じで、
公式を使って計算
12才
8才
+2才-2才
弟
同じ数!
平均 10才
> 平均を求めるには、 全部合計してから個数 (人数) で
割ると求めることができる
月曜
(例)三郎くんの勉強時間の平均は?
火曜
水曜
木曜
金曜
30分
60分
30分
0分
90分
月曜から金曜の勉強時間の合計は、
30 + 60 + 30 + 0 + 90 = 210 [分]
したがって、 平均時間は、
2105 = 42[分]
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【公式(定義)】
平均=合計+個数
合計=平均×個数
(例) 兄と弟の年令の合計は12+820 [才]
そのため、平均は20+ 2 = 10[才]
月~金まで
で合計5日間
19

ページ21:

4.4.3つ以上の数量の和差算
●3つ以上の数量が出てくる和差算の場合も、 求めたい数量に合わせてから、 全部の個数を割ることで答えが
求まる
(1)3つ以上の数量の和差算
3つ以上の数量の和差算の問題では、
(1)の答えを使って(2)を答えさせる問題がよく出ます。
(1)では、一番多い人と一番小さい人の差を答えさせる問題
▼この問題の場合、 和の数字は使いません。
3つ以上の数量が出てくるときも、 求めたい数量に
合わせる
【ポイント】
1組
2組
3組
~2人
-82人
3人
1組
1組に合わせると...
2組
1組
82-2-(2+3)=75人
3組
2組
2人
3組
2+3=5人
82-2- (2+3) = 75・・・1組の人数 (□) 3つ分
1組の人数は、75÷3=25[人]
ロ2組に合わせると...
1組
2組
3組
82+2-3=81•
.
•
少ない場合は足す (+)
多い場合は引く (-)
82+2-3=81人
2組の人数 (□) 3つ分
2人
・3人
3組の人数は、 1組の人数より何人多いでしょうか?
⇒ 3 + 2 = 5 [人]
(2)では、それぞれの数を答えさせる問題
82人
合計に足したり引いたりするときに、 線分図を見ながら、 もれないよう
に気をつけましょう。 数字だけ見て式を作ると、 もれてしまいがちです。
82-2-5=75
割るときに、 全員で割ることに気をつけてください
(3人いたら3で割る、4人いたら4で割る)
753 = 25
「だれに合わせている? 」を線分図を見ながら確認してください。
いつも、計算を終わるたびに線分図のどこを計算しているかな?を
考えることをおすすめします
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2組の人数
1組の人数は、27-2=25[人]
81 + 3 = 27
20
20

ページ22:

中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第6回
小数と単位
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ページ23:

6.1. 小数の性質
● 小数は1より小さい数を表すことができ、 1を10等分した1つ分の大きさを0.1と表す (0.1=1)
10倍にすると小数点の位置が右に1つずれ、 10でわると左に1つずれる
(1) 小数とは
小数: 1より小さい数を表す
1
▼ 0.1:1のの大きさ
10 1
1
√ 0.01:
0.1の
の大きさ、1の
1
の大きさ
100
1
0.001
0.01 0 1 1 の大きさ、1の
の大きさ
1000
➤ 15
6 5 4 3
2 1
1
2 3
4
(3) 10倍 1/10倍
10倍にする
→小数点が右に1つずれる
352
10でわる一倍にする
→小数点が左に1つずれる
3.5 2
352
035 2
1より小さくなった場合は、
小数点の前に0をつける
0.1が○○個小数点が左に1つずらす
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十万
万 千百 +
小数第2位
小数第1位
(小数点)
(2) 小数の数直線
0
1
小数第3位
小数第4位
10
10
.
0 3 5 6
(答) 0.001は小数点以下3けたなので、 左に3つずらす
(例) 0.001が356個
356
整数の場合は、
小数点は右はじにあると考える
(例) 5.2/
を消す
1より小さい数の場合 0をつける (例) 0.123
特別なルール
2
1番下の位が0になる場合
0.1
0.5
小数第1位 ( 1 の位)
0.01
小数第2位 (7位)
22

ページ24:

6.2. 小数のたし算・ひき算
●小数のたし算・ひき算の場合、 小数点の位置をそろえて計算
(1) 小数のたし算・ひき算
小数のたし算・ひき算は、小数点の位置をそろえてから、
整数のたし算・ひき算と同じように計算
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(例)
3.56
3500をつけて
計算する
+2,34
-2.392
5.90
1.108
最後の位が
途中の位が
小数点を
0の時は
小数点を
そろえる
0の時は
そろえる
0を消す
0を消さない
23

ページ25:

6.3. 単位
大きい単位に直すときは小数点を左にずらし、小さい単位に直すときには小数点を右にずらす。
必要に応じて0をつけ加える
(1) 単位の変換
(2) 面積の単位
> 長さ・重さ・かさの単位は、3けたずつ区切って考える
1
1000倍するとk (キロ)1000倍するとm (ミリ)
直す単位に合わせて、小数点やゼロをつけ加える
面積の単位は、 2けたずつ区切って考える
1000000倍
1400000
1000倍
1000倍
10000倍
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面積の単位
km² ha
長さの単位
a
m²
cm2mm²
(メートル)
km
m
cm mm
(平方メートル)
(ヘクタール)
(アール)
正方形の
重さの単位
1辺の長さ
1km 100m 10m 1m 10cm 1cm 1mm
kg
g
(グラム)
mg
(トン)
(3) 体積の単位
かさの単位
KL
(リットル)
LdL
mL
1000倍
一
倍
1000
(例)142cmは何mか? 何mmか?
10倍
cm
1_4
2 |cm|
かさの単位
kL
L dL
mL
m
(リットル)
mに直すと、
小数点をつけ加える
mmに直すと、
1.42m²
+
体積の単位
m3
1000cm3
cm3
(立方メートル)
142 0 mm
立方体の
1辺の長さ
1m
10cm
1cm
0をつけ加える
24

ページ26:

中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第7回
分数の性質
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7.1. 分数の性質
● 分数とは、ある大きさを○等分したときの△個分の大きさを表す数字で、 ○を分母、 △を分子という
●1より大きい分数には、 仮分数と帯分数という2つの表し方がある (答えはどちらで答えてもOK)
(1) 分数とは
分数ある大きさを○等分したときの1つ分の大きさを
1 と表した数。(1/◯と書くこともある)
(2) 仮分数・帯分数
> 真分数: 分子<分母となる分数 1より小さい分数
> 分数: 分子 分母となる分数。 1以上の分数
帯分数 : 整数と真分数の和で表した分数
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今とは
とは、1が△
が△個分の大きさ。 倍とは○×△と同じ
3
(例)2mのひものは何cm?
2m=200cmなので、200÷5×3 = 120[cm]
200cm
3 TZ33
?cm
(例) 時間は何分?
1時間 = 60分なので、60÷6×5 = 150 [分]
今で、○を分母、△を分子と言う
> わり算 △ + ○は、今と同じ
と表す
真分数
仮分数
帯分数
2-3
5
2
3
13
3
3
2
2
5
1
1
1
4
2
1
へんかん
仮分数は帯分数に変換できる
4
(例)732あまり1より
13 だと分数の
7
1
部分が真分数
=2.
3
3
ではないから×
帯分数は仮分数に変換できる
(例) 2×3+1=7より
1 2×3+1
7
2
3
3
3
26

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7.2. 分数のたし算・ひき算
● 分母が同じ分数同士のたし算・ひき算は、分子同士を計算する
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(1) 分母が同じたし算・ひき算
> 分母が同じ分数同士のたし算・ひき算は、分子同士を
計算する
答えは既約分数に直して答える
a
b a+b
a
b
a-b
+
C
C
C
C
C C
(例)
2
4 6
55
帯分数同士のたし算・ひき算では、整数同士・分子同士
を計算する
ただし、ひき算で分数同士で引けない場合は、 整数から
1くり下げて計算する
(例)
くり下げる
2
3-1==
3
2-13
分子同士
整数同士
3-2
(2-1)+
3
=2
27

ページ29:

中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第8回
三角形の角
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8.1. 三角形の性質
● 三角形は、 同じ直線上にない3点を3本の直線 (辺) で囲んだ図形
● 三角形の内角の和は180°
(1) 三角形とは
> 三角形: 同じ直線上にない3個の頂点を
3本の辺で結んだ形
三角形ABC (△ABC) のように表す
(下の例は、 点A、 点B、 点を結んだ三角形)
A
(2) 三角形の角
> 内角: 三角形の内側にできる3つの角
【定理(定義からわかること)】
三角形の内角の和 (合計) =180度
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辺AB
ア
辺CA
角BAC
ウの外角
イ
B
角ABC 辺BC BCA
C
> 三角形の角度の表し方:
点を順に直線で結んだときにできる角度の場合、
角BAC (∠BAC) と書く
A
B
ZBAC
C
ア
ウ
ア + イ+ ウ= 180°
外角: 一辺とこれと隣り合う辺の延長とが成す角
【定理】 外角の定理
三角形の2つの内角の和は、
となり合わない外角の大きさに等しい
アイ=ウの外角
ア
アのさっ角
イの
同位角
ウの外角
ウ
29

ページ31:

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8.2. 三角形の種類
●三角形には二等辺三角形、 正三角形、 直角三角形などの種類がある
●三角形の1辺の長さはその他2辺の長さの和よりも小さい性質がある
(1) 三角形の分類
定義
二等辺三角形: 2辺の長さが同じ三角形
> 正三角形: 3辺の長さが同じ三角形
種類
普通の
三角形
二等辺
三角形
正三角形
直角三角形
内角の和
180°
直角三角形: 1つの角が直角の三角形
> 正三角形は、二等辺三角形でもある
鋭角2つ +
鈍角1つ
鋭角
鋭角2つ +
鈍角1つ
2辺の
長さが同じ
3角全部
90°と
60°
鋭角2つ
3辺の
長さが同じ
60°
鈍角
三角形
二等辺三角形
60°60°
正三角形
内角の構成
あるいは
あるいは
どんかく
鈍角
3つとも鋭角
3つとも鋭角
(90°より大)
えいかく
1つの角が
直角
さらに
直角
直角三角形
145
さらに
2辺の長さが同じ
.45%
直角二等辺三角形
|鋭角
(90°未満)
60°
\60° 60%
90°
ちょっかく
直角
1辺は、
その他2辺の
和より小さい
2辺同じ
3辺全て
同じ
ア
辺の長さ
ア
ウ<ア+イ
AA
ウ
ア=イ
アイ+ウ
斜辺は、
その他2辺の
和より小さい
ウ
ア
イ
ウ
ア=イ=ウ
ウ<ア+イ
30

ページ32:

8.3. 二等辺三角形
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●二等辺三角形とは、 2辺の長さが等しい三角形のことで、 2つの底角も同じ角度になる
同じ長さの辺にはさまれた角を2等分する直線を引くと、向かいの辺と垂直に交わる
(1) 二等辺三角形の定義
(3) 二等辺三角形になるための条件
【定義 (最初に決めた出発点 】
頂角
二等辺三角形: 2辺の長さが等しい三角形
①②のどちらかならば、 二等辺三角形になる
①2辺の長さが同じ
二等辺三角形
底角
底辺
(2) 二等辺三角形の性質
②2点の角度が同じ
高さ
底辺
二等辺三角形
①角B=角C (底角が等しい)
ABC
辺AB = 辺AC
ならば
② 角Aを二等分する直線は、
辺BCの真ん中で垂直に交わる
(BH HC)
(例) □の大きさは?
③ AHは底辺BCに対する高さ
二等辺三角形なので、
もう1つの角度も口
三角形の内角の和は180°なので、
A
A
□ x2 +32 = 180
32°
□ = (180-32)+ 2 = 74°
B
B
C
中線
【①の証明 (なぜそうなるのか?)】
二等辺三角形の∠Aの大きさが同じになるように二等分して、
辺BCと接した点をHとすると、
AB=AC、 ∠BAH=∠CAH AHが共通 中学では、
となって、 三角形ABHと三角形ACHは
∠A: 角度A
C
全く同じ図形。 したがって、 ∠B= ∠Cとなる
△ABC :
三角形ABC
31

ページ33:

8.4. 正三角形
●正三角形とは、 3辺の長さが等しい三角形のことで、 二等辺三角形の特別な場合
●正三角形の内角 (角度) は全て60°
(1)正三角形の定義
【定義 (最初に決めた出発点) 1
(3) 正三角形になる条件
①・②のどちらかならば、正三角形になる
正三角形: 3辺の長さが等しい三角形
①3辺の長さが同じ
(2) 正三角形の性質
正三角形
60°
正三角形ABC
②2辺が同じで、
① 角A=角B= 角C = 60°
どこかの角度が60°
60°
60°
辺AB=辺BC
②二等辺三角形の性質は
全て当てはまる
1600
または
60°
=辺CA
ならば
角Aを二等分する直線は
辺BCの真ん中で垂直に交わ
る(BH=HC)
AHは底辺BCに対する高さ
【内角が60°の証明 (なぜそうなるのか?)】
正三角形ABCは、辺AB=辺BCの
二等辺三角形なので、
∠B= ∠C
また、 辺BC=辺CAでもあるので、
B
C
∠A= ∠B
したがって、 ∠A= ∠B= ∠Cで
全て同じ角度になる。
60%
三角形の内角の和は180°なので、
B
C
B
C
1つ分は 180°+3=60°
B
C
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8.5 直角三角形
●直角三角形は1つの内角が直角の三角形。 さらに2つの辺の長さが同じ場合は直角二等辺三角形
● 三角定規は、 45° 45° 90°と30° 60° 90°の2種類
(3) 三角定規
(1)直角三角形の定義
【定義 (最初に決めたこと)】
> 三角定規は2種類の直角三角形で構成
斜辺
直角三角形: 1つの内角が
直角の三角形
直角三角形の直角以外の2つの角は鋭角 (90°未満)
45
斜辺の長さく他の2辺の長さの合計
(2) 直角二等辺三角形
【定義(最初に決めたこと)】
直角二等辺三角形:
1つの内角が直角で、かつ直角を挟む辺が同じ長さ
の三角形
①二等辺三角形の性質は全て当てはまる
②2つの底角の大きさは
直角二等辺
三角形ABC
(180° - 90°) + 2 = 45°
③正方形を2等分
してできる形
45°
45%
1600
○
[30]
60%
45
30%
直角二等辺三角形
▼ 正方形の半分の大きさ
▼正三角形の半分の
大きさ
斜辺の長さは、一番
短い辺の長さの2倍
33

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中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第9回
いろいろな四角形
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ページ36:

9.1. 四角形の種類
●台形は向かい合う1組の辺が平行な四角形で、 平行四辺形は2組の辺が平行である四角形
● ひし形は4本の辺の長さが等しい四角形で、 平行四辺形の特別な場合
(1) 四角形の分類
定義
台形: 向かい合う1組の辺が平行な四角形
平行四辺形 向かい合う2組の辺が平行
ひし形: 4本の辺の長さが等しい四角形
長方形 4つの角が全て直角の四角形
正方形: 4本の辺の長さが等しい長方形
種類
台形
内角の和
平行四辺形
360°
ひし形
角度
+}18
同則内角は180°
180°
特徴なし
同則内角は180°
向かい合う角度は同じ
真ん中で交わる
真ん中で垂直に交わる
対角線
中心
1組の辺が
平行
平行でない
2辺が同じ長さ
辺の長さ
特徴なし
(バラバラ)
向かい合う2辺が
同じ長さ
全4辺、 同じ長さ
四角形
台形
脚台形
もう1組の辺も
平行
種類
内角の和
長方形
正方形
たこ
360°
となり合った
2辺の長さが
☐
角度
全部90°
特徴なし
同じ
平行四辺形
4つの角が
全て直角
4辺が
同じ長さ
長方形
4辺が
同じ長さ
真ん中で交わる
真ん中で
垂直に交わる
垂直に交わる
対角線
中心
中心
4辺が
4つの角が
辺の長さ
たこ形
同じ長さ
ひし形
全て直角
向かい合う2辺が
同じ長さ
となり合った
全4辺、 同じ長さ
2辺の長さが同じ
正方形
35
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9.2. 長方形
長方形は4つの角が全て直角である四角形。 向かい合う辺は平行で同じ長さ。
2025/4/29改定
● 長方形のまわりの長さは、 (たての長さ + 横の長さ)×2
(1) 長方形の定義
(3) 長方形のまわりの長さ
横
【定義(最初に決めた出発点) 1
長方形 4つの角が全て直角
である四角形
に横
> 長方形のまわりの長さ:
(たての長さ+ 横の長さ)×2
たて
たて
縦
(2) 長方形の性質
長方形ABCDに
おいて
A
D
① 向かい合う辺の長さが同じ
AB=DC、 AD = BC
B
C
②2組の向かい合う辺は平行
AB || DC、 AD || BC
D
③ 2本の対角線の長さが同じ
AC=DB
H
中心
④2本の対角線は中心で
交わって、 中心から頂点の
B
C
長さが全て同じ
AH=BH=CH=DH
横
たて
(例)
まわりの長さが20cmの長方形で、 たての方が横より2cm長いとき、
たての長さは?
(解)
たての長さ+横の長さ=20÷2=10[cm]
なので、和が10cm、 差 (たての方が長い)が2cmの和差算になる。
たての長さは、(10+2) + 2 = 6[cm]
長方形のまわりの長さを見たら、 まず2でわって
たての長さ+横の長さにすると解きやすい
36

ページ38:

9.3. 正方形
● 正方形は、4本の辺の長さが全て等しい長方形。 すなわち、4つの角が全部、 直角の四角形
●正方形は特別な長方形なので、 長方形の性質は全て当てはまる
(1) 正方形の定義
【 定義 (最初に決めた出発点) 】
正方形:4つの角が全て直角で、かつ、
4つの辺の長さが同じ四角形
(3) 正方形のまわりの長さ
> 正方形のまわりの長さ: 1辺の長さ×4
2025/4/29改定
(例)まわりの長さが20cmの正方形の1辺の長さは?
(解) 20÷4=5[cm]
(2) 正方形の性質
正方形ABCDに
おいて
A
B
C
長方形の性質は全て当てはまる
①2組の向かい合う辺は平行
AB || DC、 AD || BC
②2本の対角線の長さが同じ
AC=DB
③2本の対角線は中心で
交わって、 中心から頂点の
長さが全て同じ
AH = BH = CH = DH
(4) 正方形の組み合わせ
対角線を引いた正方形を2つ組み合わせると、
少し小さい (面積が半分の) 正方形ができる
小さい
正方形
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B
C
④2本の対角線は
中心で垂直に交わる
37

ページ39:

9.4. 長方形の組み合わせた図形
● まわりの長さを求める場合は、 同じ長さの部分を移動させて考えると求めやすい
● 長方形の紙を折った場合、長さや角度が同じことが多い
(1) まわりの長さの問題
> 長方形を組み合わせたまわりの長さを求める場合には、
同じ長さの部分を移動させて考えると求めやすい
(3) 長方形の紙を折る問題
お
> 長方形の紙を折った場合、 長さや角度が同じことに注目!
(例1) 長方形の途中で折った場合
(例) たて5cm 横3cmの長方形を右図の
ように2枚並べた時のまわりの長さは?
3cm
5cm
(解) 右のように同じ長さの部分を動かすと。
たて5cm、 横3+5=8cmの長方形
になるので、
5cm
{5 + (3 + 5)}×2 = (5+8)×2=26[cm]
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(2) 長方形を重ね合わせる問題
> 長方形を重ね合わせた時のまわりの長さを求める場合には、
重ね合わせた部分のまわりの長さを引くと求めやすい
(例) たて3cm、 横5cmの長方形を右図の
5cm
ように2枚並べた時のまわりの長さは?
1.5cm
3cm
(解) 2つの長方形のまわりの長さは、
(3+5)×2×2 = 32[cm]
1cm
重ね合わせてできた長方形のまわりの長さは、
(1+1.5)×2=5[cm]
したがって、
32-5=27[cm]
同じ角度
かど
(例2) 長方形の角で折った場合
xの2倍
同じ角度
(さっ角)
同じ角度
38

ページ40:

9.5. 面積
●面積とは、 図形の広さを表す量。 1辺1mの正方形の面積を1m² (1平方メートル) と定義
● 1辺10mの正方形の面積1a (アール) 1辺100mの正方形の面積1ha (ヘクタール)
2025/6/29改定
1辺1kmの正方形の面積は1km²と言い、 面積が100倍になる (2桁増える)ごとに単位が存在
(1) 面積の定義
面積 : 図形の広さを表す量
【定義】 1辺1mの正方形の面積を
(2) 面積の単位
面積を表す単位は2桁ずつ (100倍ごと)
1辺の長さ 面積の単位
読み方
1m² (1平方メートル) とする
長さを
10倍
面積
1m
1m2
1mm
1mm²
平方ミリメートル
面積は
100倍
1cm
1cm2
平方センチメートル
10cm
(なし)
1m
1m²
平方メートル
10m
la
アール
正方形の長さが10倍になると、
正方形の面積は、10×10=100倍になる
100m
1ha
ヘクタール
1km
1km²
平方キロメートル
1
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1000000倍
1000000
10000
倍
km² ha
a
m²
cm²mm²
(ヘクタール)
(アール)
39

ページ41:

9.6. 正方形と長方形の面積
2025/6/29改定
正方形の面積は、1辺の長さ×1辺の長さで求められる
長方形の面積は、 たての長さ×よこの長さで求められる
(1) 正方形の面積
(2) 長方形の面積
【公式】
【公式】
正方形の面積= 1辺の長さ×1辺の長さ
長方形の面積=たての長さ×よこの長さ
よこ
横
1辺の
長さ
たて
縦
対角線を使って、 正方形の面積を求めることができる
【公式が成り立つ理由】
正方形の面積=対角線の長さ×対角線の長さ+2
長方形の中に一辺1cmの正方形が
何個入っているか?を考える
1cm
|1cm
たて
◆正方形
辺
右図の長方形の場合、 たて3cm、 3個
横5cmなので、 一辺1cmの正方形が、
たてに3個、 横に5個ずつならぶため、
3×5=15[個]
入ることになる。 したがって、
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対角線
●
対角線
1[cm]×15 = 15[cm²]
となる
横 5個
20
40

ページ42:

9.7. 長方形を組み合わせた図形の面積
● 長方形を組み合わせた図形は、いくつかの長方形に分けて、それぞれ面積を求める
2025/6/29追加
(1) 長方形を組み合わせた図形の面積
長方形を組み合わせた図形の面積を求めるときには、
いくつかの長方形に分けて、それぞれの面積を求めて、
あとからたす。 重なっている部分はひく
(例) 右の図形の面積は何cm²ですか?
ただし、かどはすべて直角です。
6cm
5cm、
|8cm
(2)等しい面積の2つに図形を分ける問題
同じ面積になるように直線で分割する問題は、 どちらかの
図形に着目して、分からない長さをxにして面積を求める
求めやすくなるように補助線を引いて、いくつかの長方形
に分ける。 xが2回以上出てこないように分割すること
(例) 右の長方形の土地を、 同じ
面積になるように折れ線で
2つに分割しました。
6m
は何mですか ?
6cm
10m
8m
x
3cm
8cm
(解) 長方形の面積は、
6×10=60[m2]
3m
(解) 右図のように分けると
6cm
なので、青色の図形の面積は
半分の30m²
青: 6×8=48[cm²]
緑: 6×8=48[cm2]
赤: (8-5)×(6-3)
xを使って面積の計算をすると、
|8cm
=9[cm²] 6-3=3cm-
(10-8)×6+ (8-3)xx = 30
x = (30-2×6)+5=3.6[m]
6cm
となるので、
8-5=3cm
8cm
図形の面積は、
長さや面積の問題で、 わり算が出てきた時は
割り切るか、分数で答えて、 「あまり」を使わない
青+緑 赤 = 48+48-9=87[cm2]
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41

ページ43:

9.8. 台形
台形とは向かい合う1組の辺が平行の四角形で、 平行同士の辺をそれぞれ上底、下底という
●台形の面積の公式は (上下底)×高さ2
等脚台形とは平行ではない2辺の長さが同じ台形で、 両端の角度も等しく、 線対称な図形
(1) 台形の定義
【定義 (最初に決めた出発点) 】
台形 :
向かい合う1組の辺が
(3) 台形の面積
上底-
【公式】
台形の面積= (上底下底)×高さ +2
平行の四角形
※平行同士の辺のうち、一方を
上底、 もう一方を下底という
下底
等脚台形 :
台の形をしてなくても、
1辺が平行だったら台形!
底
下
(4) 等脚台形
【定義 (最初に決めた出発点) 】
平行ではない向かい合う
辺の長さが同じ台形
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(2) 台形の性質
(5) 台形の性質
専台形ABCD
①台形の性質は全て当てはまる
台形ABCD
辺AD || 辺BC
① 同則内角の和は180°
角A+角B = 180°
辺AD || 辺BC
かつ
ならば
角C + 角D = 180°
AB = CD
ならば
A
D
A
D
A
合計
合計
180°
180°
② となり合う角は同じ大きさ
角A=角D、 角B = 角C
③2本の対角線がOで交わると、
AO = DO, BO = CO
合計、
180%
A
D
C
C
B
B
B
C
B
C
42

ページ44:

9.9. 平行四辺形
● 平行四辺形とは向かい合う2組の辺が平行の四角形のことで、 向かい合う辺の長さは同じ性質がある
● 平行四辺形の面積の公式は底辺×高さ。
(1) 平行四辺形の定義
(3) 平行四辺形の面積
【定義 (最初に決めた出発点) 】
平行四辺形:
D
【公式】
平行四辺形の面積=底辺x高さ
向かい合う2組の辺が
平行の四角形
B
C
高さ
底辺
高さ
(2) 平行四辺形の性質
平行四辺形ABCD
① 向かい合う角は同じ大き
角A = 角C、 角B = 角D
底辺
台形とちがい、
たて・横両方向に
同内角がある
辺AB || 辺CD
かつ
辺AD || 辺BC
ならば
② 同則内角の合計は180°
角A+角B=180°
角A+角D=180°
角C+角B=180°
角C+角D = 180°
③ 向かい合う辺の長さは同じ
AB = CD、 AD=BC
④2本の対角線はたがいの
中点で交わる
AO = CO, BO = DO
底辺はどちらの辺でも良い
底辺と高さは必ず垂直
どの辺を底辺にするか、色んな見方を試す!
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D
合計
180°
合計180°
A
D
合計
180°
B
C
B
合計180°
43

ページ45:

9. 10. ひし形
● ひし形は4辺の長さがすべて等しい四角形で、 平行四辺形の特別な場合
ひし形の面積は、平行四辺形と同じ求め方の他に、 対角線×対角線でも求めることができる
(1) ひし形の定義
【定義 (最初に決めた出発点) 】
ひし形 (形):
4辺が長さがすべて等しい四角形
(3) ひし形の面積
【公式】
①平行四辺形と同じ求め方
ひし形の面積=底辺x高さ
② 対角線を利用する求め方 (正方形でも可)
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(2) ひし形の性質
ひし形の面積= 対角線x対角線2
ひし形ABCD
①平行四辺形の性質は
全て当てはまる
向かい合う2辺は平行
辺AB || 辺CD
対角線
底辺
高さ
辺AD || 辺BC
対角線
AB=BC=CD=DA
ならば
向かい合う角は同じ大きさ
角A=角C、 角B=角D
2本の対角線はたがいの
中点で交わる
AO = CO, BO = DO
②2本の対角線は垂直に
交わる
A
B
A
D
B
D
44
C

ページ46:

9.11. 四角形の面積
● 平行四辺形の面積は底辺×高さ。 正方形・長方形の面積はたて×横
● 台形の面積は(上底+下底)×高さ +2
●ひし形・正方形など、 対角線同士が直角に交わる四角形の面積は対角線×対角線+2でも利用可能
(1) 四角形の面積
平行四辺形
対象
(ひし形 長方形、正方形)
台形
ひし形、 たこ形
パターン
辺の長さを使う
2つくっつけて計算して、
後から2でわる
底辺x高さ
(上底+下底)×高さ÷2
上底
(正方形)
対角線を使う
対角線x対角線 2
下底
高さ
高さ
対角線
同じ面積
OF
O
A
公式
【理由】
底辺
下底
上底
対角線
【理由】
底辺に垂直に線を引いて、
できた三角形を右に移すと、
横が「底辺」 たてが「高さ」の
長方形になる
上下をひっくり返して横につけると、
底辺が「上底+下底」 の平行四辺形
になる。
平行四辺形の面積を2でわると、
元の台形の面積が求められる
【理由】
対角線の長さに合わせて、長方形を
作ると、 元の四角形の面積は、
できた長方形の面積を2でわった値
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45

ページ47:

中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第11回
三角形の面積
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11.1. 三角形の面積
● 三角形の面積は、 底辺×高さ2. 底辺と高さは必ず垂直
2025/10/4改定
●複雑な図形の面積を求める場合は、 補助線を引いて考える。 辺に対して垂直に補助線を引くのがポイント
(1) 三角形の面積
【公式(定義からわかること)】
高さ
(2) 三角形の面積の応用 (高さの出し方)
・補助線を引いて面積を求める
三角形の面積=底辺×高さ 2
(例) 右図の四角形の面積は?
7cm
(答)
底辺
高さ
対角線を引いて、2つの三角形の面積
の合計を求めると、
8cm|
ア: 5×8 + 2 = 20[cm²]
ア
底辺
イ: 2×7+2=7[cm²]
底辺
12cm
20 + 7 = 27[cm²]
5cm
底辺と高さは必ず垂直
▼底辺は三角形の辺ならどれでも良い
75°75°や15° 15°の二等辺三角形のように、
30°が作れそうなときは、 辺に対して垂直に補助線を引く
どの辺を底辺にするか、 色んな見方を試す!
(例) 右図の二等辺三角形の面積は?
(例)
4cm
(答)
~300 三角
三角形の面積は何cm²ですか?
3cm
4cm
辺を伸ばしてもう一つの頂点から B
垂直になるように補助線を引くと、
150
定規
C
(答)
外角より、 角HAC = 15° + 15°=30°
底辺が3cm、高さが4cmなので、
3×4+2=6[cm]
5cm
(例)
角AHC=180°-90°-30°=60°になるので、
三角形AHCは三角定規の形で、HC = AC + 2 =4÷2=2[cm]
したがって、三角形ABC=4×2÷2=4[cm²]
三角形の面積は何cm²ですか?
(例) 右図の二等辺三角形の面積は?
(答)
2.4cm
(答) 底辺に対して垂直になるように
75°
底辺が5cm、高さが2.4cmなので、
5×2.4 + 2 = 6[cm²]
補助線を引くと、 高さが2cm
30°
定規
5cm
4×2+2=4[cm2]
.4cm
47

ページ49:

11.2. 複雑な図形の面積
●底辺や高さが分からない三角形の面積を求める場合、 外側の図形から引いたり、 となりの図形を加えたりする
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(1)複雑な図形の面積
・底辺や高さが分からない三角形の面積を求める場合、
外側の図形から引いたり、 となりの図形を加えたりする
(例)
4cm.
右図で三角形の面積は何cm²ですか?
ア
(答)
全体の長方形からア、イ、ウの3つの
三角形をひく
2cm
長方形=5×6=30[cm2]
イ
.6cm
ア=4×(5-2)÷2=6[cm2]
|5cm
イ=2×6÷2=6[cm]、ウ=(6-4)×5+2=5[cm²] より、
求める三角形の面積は、30-6-6-5=13[cm2]
(例)
右図で三角形アと四角形の面積が
8cm
等しいとき、 □は何cmですか?
ア
(答)
6cm
ウ
アとイの面積が等しいので、それぞれに
ウを加えた図形の面積も同じ
イ
ア+ウ=ウ+イ
2cm
アウの面積は、
☐ cm'
8×6 + 2 = 24[cm2]
イ+ウの面積を、口を使って式にすると
(6 + 2)x □ + 2 = 24
□=24×2 + (6 + 2) = 6[cm]
48

ページ50:

中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第12回
間の数を考える問題
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12.1. 植木算
●植木算とは、「木の数」と「木と木の間の数」の関係を考えて解く問題
●間の長さ×間の数 = 全体の長さ。 木の数で考えるのではなく、 つねに間の数を考えることが大切
(1) 植木算
植木算 「木の数」と「間の数」の関係を考えて解く問題
解き方・考え方
● 「木の数」と「間の数」の関係を確認する
(2) 植木算のパターン
2025/8/2改定
問題文から状況を絵に書いて、 パターン1~3のどれかを
考える
(例) まっすぐな道に、 はしからはしまで3mおきに電柱を5本
立てます。道の長さは?
まっすぐな道に木を植える場合
パターン1
(両はしにも植える)
木の数=間の数+1
(解)
① 「木の数」と「間の数」の関係を確認する
木の数
傘傘傘傘
絵をかくとパターン1 と
分かる。
2
3
間の数= 木の数-1
②③
間の数は 5-1=4。
3m
間の数
② 求めたい数量を計算する
パターン2
まっすぐな道に木を植える場合
(両はしには植えない)
【公式】 間の長さ×間の数 全体の長さ
==
3[m]x4 = 12[m]
木の数
間の数-1
44
=
間の数 木の数 +1
(例) 桜の木が10m間かくに10本植えてある道があります。
桜の木と木の間にくいを2m間かくに植えると、
くいは合計何本植えますか?
一周するときに
パターン3
木を植える場合
傘傘
(解)
① 「木の数」と「間の数」 の関係を確認する
10m
桜と桜の木の間の関係は
パターン2 と分かる
木の数 =間の数
② 求めたい数量を
TH
計算する
2m2m
池、長方形のまわり、・・
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にしたがって調整しながら、 求めたい数量を計算する
【公式】
間の長さ×間の数=全体の長さ
桜と桜の木の間のくいの数は、 間の数より1つ少ないので、
1021=4[本]
道全体では、 桜と桜の間の数は 10-19あるので、
くいは全部で、 4 [本]×9=36[本]
50
50

ページ52:

12.2. 植木算の応用
● かべに絵をならべる問題の場合、 たてと横に双方に等間隔な植木算として考える
●テープののりしろの問題も、テープを木、のりしろを間と考えると、 植木算のように解ける
(2) テープののりしろ問題
(1)かべに絵をならべる問題
かべにたて横に等間隔になるように絵をならべる問題では、
たて・横どちらかに注目して解く
(例)たて2m80cm、 横6mのかべに、 たて20cm 横30cmの
写真を横一列で8枚はります。
①かべのはしから写真までの間かくと、写真と写真の間かくをすべ
て同じ長さにすると、 その長さは何cmですか?
2025/8/2改定
テープののりしろや、テープを切る問題など、 植木算の応用範
囲は幅広く、計算 (特にわり算) をする前に、 何を計算して
いるのか、 図で整理することをおすすめ
(例) 長さ10cmのテープを、2cmの「のりしろ」を作ってくっつけて、
1本の長いテープにします。
10枚つなげたとき、
全体の長さは何cmですか?|
(
① 「絵の数」と「間隔の数」 の関係を確認する
12
8
(答) のりしろの数は10-19個
図をかくと、この場合、 絵より
間かくの方が1つ多いことがわかる。
10cm
のり
しろ
のり
しろ
2cm
6m=600cm
②1にしたがって調整しながら、 求めたい数量を計算する
【公式】 間の長さ×間の数全体の長さ
間かくの合計は、600-30×8=360[cm] なので、
間かくの長さは360÷ (8+1)= 40[cm]
全体の長さ間かくの数
②たてにも、かべのはしから写真までの間かくと、写真と写真の間
かくを、①の間かくではり直すことにしました。 全部で何枚の絵を
はることができますか?
98-2=96[cm]
そのため、全体の長さは、のりしろの長さを引けばよいので、
10[cm]×10[枚]-2[cm]×9[個]=100-18=82[cm]
のりしろの長さが2cmにして何枚つなげたところ、全体の長さが
98cmになりました。 テープは何枚繋ぎましたか?
(答)のりしろの数の方が、テープの枚数より1枚少ないので、
テープの枚数に合わせると、 全体の長さは、
テープ10 10
10
10
のりしろ部分もふくめる
と、テープ1枚あたり
cm
cm
cm
cm
のりしろ 2
2
2 [2]
1
cm
cm
cm
cm
(解)たても、間かくの方が1つ多いので、 全体から先に
引いておくと、 280-40=240[cm]
240
cm
10-2=8[cm]
そのため、テープの枚数は、
残った 8
長さ
8
8
10
8
絵はたてに、 240 (40+20)=4 [枚]ならぶ。
したがって、絵は全部で、
96÷8=12[枚]
4×8=32枚]
? 20cmy
40cm
98cm 96cm
のりしろの数を
テープの枚数に
合わせる
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中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第4回
整数のかけ算/大きな数
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4.4. 大きな数
●日本語では大きな数は4けたごとに区切って読む
(1) 大きな数
日本語では大きな数は4けたごとに区切って読む
【参考】 もっと大きな数 (塵劫記: 江戸時代の書物より)
単位
1
万
読み方 0の数
まん
単位
位が1つ上がると10倍、位が1つ下がると10倍
4 正
読み方
せい
0の数
40
億
おく
|10倍
8 載
さい
44
|10倍
ちょう
12
極
ごく
48
6 5 4 3 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
千 百 十 - 千 百 十 一 千 百 十
千 百 十 -
ちょう
おく
まん
兆
億
万
10000倍
|10000倍
1
10
10倍
(例)6543210987654321
京垓移穣溝潤
けい
16
恒河沙
ごうがしゃ
52
がい
20
阿僧祇
あそぎ
56
じょ
24
那由他
なゆた
60
じょう
28
不可思議
ふかしぎ
64
こう
32
無量大数
むりょうたいすう
68
澗
かん
36
【参考】 英語の場合
→六千五百四十三二千百九億八千七百六十五万四千三百二十一
【特別なルール】
0の場合は、飛ばして読む (例) だと十億の位)
1の場合は、 千万百万十万のように一をつけない
(一万の位の場合は、一をつける)
英語では大きな数は3けたごとに区切って読む
単位 接頭語 0の数
ten
da
1
単位
thousand
接頭語
0の数
k(kilo)
3
hundred
h
2
million
M(mega)
6
billion
※接頭語とは単位の前につける
G(giga)
9
言葉で、 例えば1mの1000倍は
1km (キロメートル)
trillion
T(tera)
12
quadrillion
P(peta)
15
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中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第13回
周期を考える問題
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13.1. 記号の周期算
● 同期算とは、 数字や文字・記号などがくり返されてるときに、 ○番目を求める問題
記号の周期算では、 周期を正確に見つけて、 数えもれがないように注意して求める
(1) 記号の周期算
(2) 記号の周期算の応用
周期算 数字や文字・記号などがくり返されてるときに、
○番目を求める問題
(例) あるきまりにしたがって、 ○と●がならんでいます。
○○●○●○○ ○○●○ OO...
37個目の記号はなんですか?
解き方・考え方
① くり返し (周期)を見つける
5個ずつ区切ると、 同じかたまりのくり返しになる。
○番目の数字・文字・記号を求めたい場合、
くり返しの個数でわったあまりから、特定する
3757あまり2
となるので、
この前から2番目で、 37番目は○
「あまり0の場合
あまりの場合
あまり3の場合
あまり2の場合
あまりの場合
○番目を求める
場合は、1番目
はあまり1
ポイント
最初の○○を見て、ずっと○のくり返しと考えないで、
必ず、 同じかたまりが、 次も続くことを確認!!
問題文の例が長いときは、 周期も長いことが多いです
①最初だけ違って、途中から同じくり返しになる問題
(例) あるきまりにしたがって、 ○と●がならんでいます。
●○○×○○×● ○○× ● ○○×
37個目の記号はなんですか?
...
(答)
① くり返し (周期)を見つける
3番目の数から4つずつ区切ると、 同じかたまりになる
○○× 100x
○○× Oox...
くり返しの個数でわったあまりから、 特定する
(37-2)÷4=8あまり3
となるので、〇〇×
の前から3番目で、 37番目は×
あまり120
②登場した回数を求める問題
(例) ①のルールにしたがって、 ○と●がならんでいます。
99個目までに○は何回出てきますか?
(答) 99個目までにくり返しは、
(99-2)+4=24あまり1
より、24回出てきて、 最後 (25回目)は○となる。
○は最初に1個、〇〇× に2個ずつ24回出てくるので、
1 + 2×24 + 1 = 50[個]
OOX...
24回
55

ページ57:

13.2. 数字の周期算
● 数字がくり返される場合も、 記号の場合と同じようにくり返し (同期) を見つけて解く
一見、周期算でなさそうな問題でも、 自分で調べて周期を見つけることで解ける問題もある
(1)数字の周期算
(2)周期算に見えない周期算の問題
数字がくり返される場合も、記号の場合と同じように求める
(例) 4の倍数の一の位の数字を小さい方から順番にならべた
とき、 45番目の数の一の位の数字はなんですか?
(答) くり返し(周期)を見つける
4×1 = 4
一の位の数字は4
4×2 = 8 →
4×3 = 12 →
4×4 = 16 →
一の位の数字は8
一の位の数字は2
一の位の数字は6
4×5 = 20 →
最初の方の
数をいくつか
ためしてみる
> 一見、周期算でなさそうな問題でも、 かんたんな場合をいくつ
か自分で調べて、 周期を見つけることで解ける問題もある
(例)3を2023個かけ合わせてできる数の一の位は?
[品川女子学院2023]
(答) くり返し(周期)を見つける
1個:3
→一の位の数字は3
2個: 3×3=9
→一の位の数字は9
一の位の数字は0
4×6 = 24 → 一の位の数字は4
となり、 {4, 8, 2, 6, 0}のくり返しになる。
②くり返しの個数でわったあまりから、 特定する
45番目は、 4559あまり0
{4,8,2,6,0}
3個: 9×3 = 27
4個: 27×3 = 81
→一の位の数字は7
→一の位の数字は1
5個: 81×3= 243
6個: 243×3=729
→一の位の数字は「3]
→一の位の数字は9
かけ算は、全部
なので、一の位の数字は 0
あまり0の場合、
くり返しの中の最後の数
となり、 {3,9, 7, 1} のくり返しになる。 計算しなくても、
数字の列の和を求める問題は、 かたまりの合計を求めてから、
かたまりの個数(繰り返し) 分たす
くり返しの個数でわったあまりから、
特定する
2023番目は、
(例) 次の数字の100番目までの合計は?
1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, ---
(答){1,2,3,2,1,0}の6個の数字のくり返しで、
1つのかたまりは、 1 +2 +3 + 2 +1+0= 9。
100番目は100÷6=16あまり4なので、
100番目までの合計は、くり返し16回と
かたまりの1~4番目の数の合計なので、
9×16 + (1 + 2 +3 + 2) = 152
2023÷4= 505あまり3
なので、一の位の数字は 7
{3,9,Z,1}
くり返しの中の3番目
一の位の数字を
3倍すれば分かる
○○3
× 3
009
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56

ページ58:

13.3. 図形の周期算
図形の周期の問題は、 どんなかたまりでくり返されているか、正確に調べることが必要
(1)図形の周期算
(2) 複雑な図形の周期算
ぼう
同じ長さの棒をならべる問題は、くり返しのかたまりに注意
最初か最後にあまる場合も多い
(例) 正方形を横にふやしていく
(例) 正三角形
くり返し (周期)を見つける
正方形
の個数
最後に
1個
2個
3個
1本あまる
.....
32本のマッチ棒がある時に作れる正方形の数は?
正方形を1個作るのに、 3本ずつ使うので、
(32-1)+3=10...1
より、 10個作れる 1本あまる分を予約
1つの正三角形を作るのに
2本ずつ使う
1本あまる
最後に
(例)
たて
正方形を横にも縦にもふやしていく
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ポイント
真ん中の棒は、左と右の
正三角形のどちらも使う
から、右にくっつける
2段目以降は
各段1本ずつ
2本ずつで足りる
あまる
1個
2個
_4+1=5個
正方形
の個数
②個数は1回のくり返しで使う本数でわって求める
一辺棒1本分の
|小さい正方形
一辺棒2本分の
大きい正方形
> 棒を41本ならべてできる正三角形の個数は、
(41-1)+2=20[個]
棒の
本数
3×1+1=
4本
3×2+1=
7本
3×2 + 2x2 + 1 + 1 =
12本
最後に 正三角形1個作る
あまる1本のに必要な本数
なるべく、横にも縦にも棒の本数を増やしていくと、
少ない棒の本数で多くの正方形が作れる
57

ページ59:

13.4. 日暦算 (基本)
2015/8/10改定
日付(日にち)は○月○日であらわし、日数は○日間であらわす。 日数=最後の日付 最初の日付+1
●曜日は日曜日から土曜日までの7つ周期 (日、月、火、水、木、金、土)
(1)日にちと日数
(2) 曜日
日付(日にち)あることをおこなう日。 ○年○月○日
日数 : 日にちの数。□日間
曜日: {日, 月,火, 水, 木,金,土 } の7つの周期
▼ 未来の日付の曜日を求める場合
(出典: 小学館 例解学習国語辞典 第十二版より)
3/4
3/5
(例) ある年の3月4日が土曜日のとき、 3月27日は何曜日?
3/6
3/27
(答)
日付 日にち
日付・日にち
土 日 月
?
(0月0日)
(○月○日)
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日数(日間)
(例) 3月4日から4月11日まで何日間ありますか?
(答) 3/4
3/31 4/1
4/11
31-4+1
11-1+1
28 [日間]
=
= 11 [日間]
3月は28日間、 4月は11日間あるので、 3/4から数えて
28 + 11 = 39 [ 日間]
39日目
ポイント
日数 (□日間) や口日目を出すときは、
差に+1する !
最後の日付 最初の日付 + 1
□日後を出すときには+1しない!
(最初の日付 0日後)
=
① 求める日付が基準となる日付の何日後かを求める
3/27は3/4から数えて、 27-4 + 1 = 24 [日後]
②曜日の周期である7でわって、 あまりの分だけ進める
247=3あまり3 より 3月4日 (土曜日) から数えて、
{土,日, 月}の3番目になるため、 3月27日は月曜日
2 3
過去の日付の曜日を求める場合
(例) ある年の11月11日が土曜日のとき、 10月2日は何曜日?
10/31 11/1
(答)
10/2
?
?日前
11/11
土
求める日付が基準となる日付の何日前かを求める
(11-1) + (31-2+1)=41 [日前
②曜日の周期である7でわって、 あまりの分だけ戻す
4175あまり6 なので、 10/2は11/11から、
(11/11を含めて)6つ前の曜日で
{土, 金, 木, 水, 火, 月}より、 月曜日
58

ページ60:

13.5. 日暦算 (月またぎ・年またぎ)
● 月をまたぐ場合は、 各月の日数分たして、求めたい日までの日数を出す
●年をまたぐ場合、 同じ日付の1年後の曜日は平年の場合1つ進むことを利用する
(2) 年またぎの日暦算
2025/8/10改定
1年後の曜日は平年で1つ (うるう年で2つ) 進む
(理由) 1年は365日 (平年の場合)なので、1年後の同じ日は、
(365+ 1) + 7=52あまり2
より、前年の同じ日の次の曜日になる
(例) 2000年3月4日が土曜日のとき、 2006年11月11日は
何曜日?
(1) 月またぎの日歴
月をまたぐ場合、 各月の日数(最後の日)をたす
1月
2月
3月
4月
5月
6月
31
28か29
31
30
31
30
7月
8月
9月
10月
11月
12月
31
31
30
31
30
31
※ 2月はうるう年のみ、 最終日は29日
(答)
(例) ある年の3月4日が土曜日のとき、 7月27日は何曜日?
(答)
求める日付が基準となる日付の何日後かを求める
3月
4月
5月
6月 7月
31-4+1=28
30
31
30
27
3/4
7/27
(土)
4/1
5/1
6/1
7/1 (?)
| 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
/3/4 /3/4 /3/4 /3/4 /3/4 /3/4 /3/4
土 日月 火 木 金 土
+1
28日間 30日間 31日間 30日間 27 日間
7/27は、 3/4から数えて
28 + 30 + 31 + 30 + 27 = 146日目
になる。
②曜日の周期である7でわって、 あまりの分だけ進める
1467=20あまり6 より、
3月4日の土曜日から数えて6つ目なので、
{土,日, 月,火, 水,木}で木曜日
5 6
+1 +1
+2 +1
+1
2004年は
うるう年なので
2000年はうるう年だが、
2/29以降なので
1年後までの日数は365日
2曜日分進む
となるので、 2006年3月4日は土曜日。 11月11日は、
3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月
28 30 31 30 31 31 30 31 11
28 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 11 = 253
2537=36あまり1 より 土曜日
うるう年(閏年)は4の倍数の年。 例外として、
× 100の倍数の年はうるう年ではない (例) 1900年
400の倍数の年はうるう年
( 例) 2000年
59
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ページ61:

中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第14回
等差数列
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ページ62:

14.1. 等差数列
● 等差数列とは、 次の数が前の数にある一定の数をたしたり、 ひいたりして作られる数列
(1)等差数列
すうれつ
数列 : ある決まりにしたがって順に数をならべたもの
とうさ
> 等差数列 次の数が前の数にある一定の数をたしたり、
ひいたりして作られる数列
(例) 2, 5, 8, 11, 14,
+3 +3 +3 +3
公差: 一定の数のこと
...
【公式】 等差数列の口番目の求め方
□番目の数はじめの数+ 公差×(-1)
間の数
(2) 等差数列の和
【公式】 等差数列の和
等差数列の和(はじめの数+終わりの数)×個数2
(例)2, 5, 8, 11, 14 をすべて加えると、いくつになりますか?
(解)
【方法】 公式に当てはめる
(2 + 14)×5 + 2 = 40
【方法2】 もとのたし算と逆に数字をならべて、
上下(たてにしてみる
2 + 5 + 8 + 11 + 14
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(例) 上例の等差数列で、 左から10番目の数は?
(解) 公式を使用すると、 2+3×(10-1)=29
(例) 上例の等差数列で、最も100に近い数は何?
(解)
2
5 8
口 100
14 + 11 + 8 + 5 + 2
逆に数字を
ならべる
16+16 +16 +16 +16
(100-2)+3=32あまり2より、 □は33番目の数で、
2 +32x3 = 98
最初が1番目なので、
間の数より1大きくなる
5個 (個数)
【方法212 同じ式を2個たし合わせているので、
個数分たし合わせて2でる
16×5 + 2 = 40
(3) 奇数をならべた数列
【公式】奇数をならべた数列 (1,3,5,7,9, について、
□番目の奇数= 2x□-1
□番目までの奇数の和=□×□
...
61

ページ63:

中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第16回
約数
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ページ64:

16.1. 約数
● 約数とは、 ある整数をわり切ることができる整数のこと。 1と口自身は必ず口の約数になる
● 公約数とは、 2つ以上の整数の共通な約数のことで、 公約数の中で最も大きな整数を最大公約数という
(1) 約数
約数: ある整数をわり切ることができる整数のこと
(例) 12の約数 : 1、2、3、4、6、12
(2) 公約数・最大公
公約数 2つ以上の数の共通の約数のこと
整数□○×△で表せるとき、 ○と△は口の約数
(○、△は0ではない整数)
最大公約数 公約数の中で最も大きな整数 (G.C.D.)
(例) 36と48の公約数は、
>□=□×1なので、 1と口自身は必ず口の約数
(例)36の約数は全部で何個か?
(答) 36 1×36、 2×18、3×12、4×9、 6×6
=
36の約数: 1、2、3、4、6、9、12、18、36
△で始めて
48の約数: 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
△となったら
打ち止め
なので、36の約数は1、2、3、4、6、9、12、18、36}
の9個
> 最大公約数は連除法で求めることができる
ただし、3つ以上の数の最大公約数を求める場合、
1つでも割り切れない数があったら公約数ではないことに注意
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(別解: 素因数分解と場合の数を使うと、)
36を素因数分解すると、 36 = 2×2×3×3。
(例)
2の倍数･･･ {1,2,2×2} の3通り
2)
16 24
60
最大公約数のときは、
3の倍数･･･ {1,3,3×3} の3通り
2)
8
12
30
全部の整数で
なので、この組み合わせは、 3×3= 9 [個]
割れないとダメ!
4
6 15
(例) 40をわると4あまる整数をすべて求めなさい
16,24,60の最大公約数は、 2x2 = 4
(答) 40 △ = ○あまり4となるので、
△xO + 4 = 40
△xO = 40-4=36
となるため、 わる数△は、 36の約数となる。
ただし、あまりが4のため、 わる数は4より大きい整数となる。
36の約数は1、2、3、4、6、9、12、18、36}なので、
この中で、4より大きい整数は6、9、12、18、 36
(3) 互いに素
たが
左側だけかける
互いに素 2つの整数の最大公約数が1の状態
(2つの整数に1以外に共通の約数が無い)
63

ページ65:

16.2. 最大公約数の応用
2つの整数の積は、 2つの整数の最大公約数・最小公倍数の積と等しい
(1) 最小公倍数と最大公約数の関係
【定理(正しいことが証明されたもの)】
2つの整数の積は、2つの整数の最大公約数・最小公倍数
の積と等しい
(2) 最大公約数を使った応用問題
(例)
整数ax整数b=最大公約数G×最小公倍数L
たての長さ26cm、 横の長さ39cmの
あつ紙を、あまりが出ないように切って、
同じ大きさの出来るだけ大きい正方形を
作ります。 正方形は何枚できますか?
(答)
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(例) 2けたの整数が2つあります。 この2つの整数の積は320、
最大公約数が4のとき、 この2つの整数は何と何ですか?
(答)
1 公式から最小公倍数を求める
最小公倍数は、 320÷4=80
②連除法で最小公倍数を求める方法を思い浮かべる
連除法をイメージすると、
最大公約数 40
a
b
最小
右のようになり、4xxxy = 80。
よって、 xxy = 80÷4=20 となるような、 (x,y)の組を探すと、
(x,y) = (1,20), (2,10), (4,5) のいずれか。
x
y 公倍数
39cm
|26cm
①正方形の1辺の長さは、 たてと横の長さの最大公約数
26と39の最大公約数は13なので、 正方形の1辺の長さは13cm
② たて、横それぞれ13cmの正方形をいくつ作れるかを
計算して、それをかけ合わせる
たて : 26 ÷ 13 = 2 [枚]
横 : 3913=3[枚]
となるので、正方形は2×3=6 [枚]
(例) A、B、Cは1ではない整数で、
求める整数は2けたなので、 (x,y) を4倍 (最大公約数) して、
2けたになるのは、 (x,y) = (4,5)だけ。
したがって、このとき2つの整数は、 4×4 = 16、5×4 = 20
AxB = 28、BxC =42のとき、 考えられるA・B・Cの組を、
(A,B,C) の形で全て答えなさい
(答)Bは28と42の公約数のうち、1を除いた整数になる。
28と42の最大公約数は14なので、
Bとして考えられるのは1以外の14の約数になる
B 2のとき、 A = 282=14、C=42÷2=21のため、
(A,B,C) = (14,2,21)。
同じようにに、 B = 7のとき、 (A,B,C) = (4,7,6)。
B=14のとき、 (A,B,C) = (2,14,3)。
したがって答えは、(14,2,2),(4,7,6), (2,143) の3通り
64

ページ66:

中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第17回
倍数
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ページ67:

17.1. 倍数
● 倍数とは、 ある数を整数倍してできる数のこと (0倍は含めない)
公倍数とは、2つ以上の共通の倍数のことで、 それら公倍数の中で最も小さい数を最小公倍数という
(1) 倍数
倍数ある数を整数倍 (1倍、2倍、3倍、･･･)して
できる数のこと
(例) 4の倍数: 4×1 = 4、 4×2 = 8、4×3=12、...
ただし、0の倍数や、 ある整数の0倍は考えない
(例)1から200までの整数の中に6の倍数は何個ありますか?
(解) (200-6)+6=33あまり2なので33個
(別解) 最初の6の倍数は6、 その後、6個おきに出てくるため、
(200-6)+6=32あまり2なので、 32+1=33個
(3) 公倍数・最小公倍数
公倍数:2つ以上の数の共通の倍数のこと
...
> 最小公倍数 公倍数の中で最も小さな整数 (L.C.M.)
(例) 4と6の公倍数は、 12、24、36、 (12の倍数 )
4の倍数:4、8、12、16、20、24、 28、 32、･･･
6の倍数:6、12、 18、 24、 30、...
最小公倍数は連除法で求めることができる
3つ以上の数の最小公倍数を求める場合、
割り切れないときにはそのまま下におろす
(2) 特別な倍数の特徴
(例)
2) 16 24 30
最小公倍数のときは、
特別な場合
確認方法
2)
8
12
15
割り切れないときは
そのまま下におろす
2の倍数
下1けたが偶数(0,2,4,6,8)のいずれか
2)
4
6
15
(偶数)
(例) 168、500、 1234567890
3)
2
3
15
最大公約数のときは、
ダメ!!
3の倍数
各位の数の和が3の倍数
2
1
5
4の倍数
5の倍数
(例) 168･･･ 1+6+8=15→3の倍数
下2けたが4の倍数か00 (例) 168,300
下1けたが{0,5}のいずれか
6の倍数
9の倍数
2の倍数かつ3の倍数の数字 (例) 168
各位の数の和が9の倍数
(例) 198･･･1+9+8=189の倍数
16, 24, 30の最小公倍数は、2×2×2×3×2×1×5=240
互いが素である数α, bの最小公倍数はaxb
2つの数が、1以外の
公約数を持たないこと
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66

ページ68:

17.2. 最小公倍数の応用
●○の倍数の個数を求める問題は同期算のように考える。 ○○でわった商が個数
歯車のように周期的に2種類以上のものを動かす問題では、それぞれの間隔の公倍数を求めると良い
(2) 最小公倍数を使った応用問題
(1) 倍数の個数を求める問題
○の倍数の個数を求める問題は、同期算のように考える
(例)
100から200までの整数の中に13の倍数は何個ありますか?
歯車のように周期的に2種類以上のものを動かす問題で
は、それぞれの間隔の公倍数を求めると良い
•
2両の電車の出発時刻
例 ・長方形の紙をならべて正方形を作る
(答)
直方体の箱を積み上げて立方体を作る
1から200までの整数の中に13の倍数は、20013=15あまり5
(例)
13個おきに13の倍数が出てくる
1から99までの整数の中には、 99-137あまり8 なので、
100の1つ手前 15-8-7 [個]
Point
1からではなく途中からの個数を求める場合、最初に○の倍数が
周期の途中で出てくるので、 対応が難しいため、
1から1つ手前の整数(上例だと99) までの個数をひく方が求めやすい
(例)
1から100までの整数の中に8でも13でも割り切れない数は
何個ありますか?
(答)
ベン図を書くと、 の部分になる
1 ~ 100の整数
++ウ + T
4の倍数 (アイ): 100÷4= 25
4の倍数、 -7の倍数、
7の倍数(イ+ウ): 100÷7=13… 9
また、4と7の最小公倍数は28なので、
ア
28の倍数(イ): 10028 = 3.16
したがって、
=100-25-13+3=65[個]
470
公倍数
ある花火大会ではA、B2種類の花火を一定間かくで打ち上げます。
午後7時から開始しA・B同時に打ち上げ、 その後はAは8秒ごと、Bは
12秒ごと打ち上げられ、 午後7時20分に花火大会は終了しました。
打ち上げの音は何回聞こえましたか?
(答)
0秒
8秒 16秒
24秒
32秒
A:
B:
0秒
12秒
24秒
36秒
8と12の最小公倍数である24秒ごと同時に打ち上げられる
Aは全部で20×60 + 8 = 150 [回]、
Bは全部で20×60÷12=100 [回] 打ち上げられ、
A・B同時に打ち上げられるのが、 最初もふくめて、
20×60 + 24 + 1 = 51[回]
なので、 音が聞こえる回数は合計で、
150 + 100 - 51 = 199回]
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中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第18回
一方におきかえて解く問題
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18.1. つるかめ算
●つるかめ算は、 2つ以上の異なるものの合計数だけが分かっている時に、 それぞれがいくつかを求める問題
一方におきかえて解く方法と、 面積図を使って解く方法がある
(1) つるかめの基本
つるかめ算 2つ以上の異なるものの合計数から、
それぞれがいくつかを求める
(例) つる(足2本)、かめ(足4本)がいます。 頭の数の合計が14、
足の数の合計が44のとき、 かめは何ひきいますか?
解き方・考え方
①問題文を図で整理する
(2) 面積図を使って解く方法
面積図を使って解くこともできる
√ たて:それぞれの足の数 面積: 足の数の合計
横 : それぞれの頭の数
解き方・考え方 (左例の問題)
①問題文を面積図で整理する
4本
頭の数 = 14
足の数
羽
の合計
つる
かめ
2 2
2 2 4 4
44
44
2本
44本
羽
②全部、片方だと仮定する
求めたい対象と
逆を仮定すると、
答えが一発で出せる
つる
かめ
14
全部、 かめだと仮定すると、足の数の合計は2×14= 28 [本]
14
②面積を求めるようにxを使って式を作る
足の数
合計
22
22 44 ・・・ 44
44
2×14
-) 2 2
x
22
2
2
22
= 28
1回、 かめ→つるに
2 2
2 2 44-28
14
取りかえると2ずつ減る
=16
ひき
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③実際の合計になるには何回とりかえるかを計算する
かめの数は、 (44-28) (4-2)=8 [ひき]
実際との 1回取り
ちがい
かえると
14×4-(4-2)xx = 44
外側の 点線部分の
長方形の面積 長方形の面積
x = (56-44) ÷ (4- 2) = 6 [羽]
69

ページ71:

18.2. 弁償算
● 弁償算は、 成功するともらえ、 失敗するととられるときに、 それぞれの数を求める問題
(1) 弁償の基本
(2) 面積図を使って解く方法
弁償算: 成功するともらえ、 失敗するととられるときに
それぞれがいくつかを求める問題
(例)製品1個につき12円の利益があるが、その製品をこわして
しまうと、10円損失になります。 300個製品を作る予定も、
何個かこわしてしまったので、利益が3336円でした。
> 面積図を使って解くこともできる
▼ たて : 1個あたりの利益 (もらえる場合は上、取られる場合は下)
横: それぞれの個数 ✓ 面積: 利益の合計
解き方・考え方 (左例の問題)
問題文を面積図で整理する
(日本女子大附属中・改)
製品をこわしてしまった個数は何個ですか?
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解き方・考え方
12円
問題文を図で整理する
x個
= 3336
300個
利益
10円
作った製品
こわした製品
12 12
円
12 12-10-10-10-10 3336円
個
作った個数
こわした個数
300個
②全部、片方だと仮定する
全部、 こわさなかったと仮定すると、利益は12×300=3600円
300個
利益
作った製品
12 12
こわした製品
12 12-10-10-10-10
②面積を求めるようにxを使って式を作る
との共通部分のを作って計算式を作ると、
300個
3336円
-) 12 12
12 12 12 12. 12 12
3600円
12円
264円
1個こわすと、 10 +12= 22円の/22 22 22 22
利益を失う
個
③実際の合計になるには何回とりかえるかを計算する
こわした数は、(3600-3336)
実際との
ちがい
(10+12) = 12 [個]
1回取り
かえると
(+) (+)-3336 となるので、
12×300 - (10+12)xx = 3336
22xx = 3600-3336
x = 12[個]
|10円
x18
70

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中学受験予習シリーズ 小4 算数 上
第19回
立方体と直方体の性質
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ページ73:

19.1. 直方体・立方体
●立方体は正方形だけで囲まれた立体で、 直方体は長方形や正方形で囲まれた立体
●直方体立方体の面は6つ、 辺が12本、 頂点が8個。 向かい合う面は平行で合同な長方形
(1) 直方体・立方体とは
【定義 (最初に決めた出発点) 1
直方体 長方形や正方形で囲まれた立体
(2) 直方体・立方体の性質
直方体において
①面は6つ
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立方体: 全ての面が正方形の直方体
みとり
<見取り図>
頂点
辺
高さ
面
たて
AA
横
面 立方体や直方体を囲んでいる正方形や長方形
へん
辺: 面と面が交わってできる直線のこと
ちょうてん
頂点: 辺と辺が交わってできる点のこと
② 向かい合う面は平行で
合同な長方形
ABEF = DCGH
ABCD = EFGH
AEFD = BFGC
A
D
③となり合う面はたがいに垂直
B
#
④辺が12本 (3種類が4本ずつ)
E
F
C
H
G
⑤ 向かい合う辺は平行
AB | DC, AB TEF
⑥向かい合う辺の長さは等しい
AB = DC
EF = HG
AE = BF = CG = DH
AD=BC=FG = EH
⑦となり合う辺は垂直
⑧頂点が8個
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ページ74:

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19.2. 展開図
● 展開図とは、 立体を辺にそって切り開いてできた1枚の平面の図
(1) 直方体・立方体の展開図
(2) 立方体の展開図の種類
展開図 立体を辺にそって切り開いてできた1枚の平面図
立方体の展開図は全部で11種類
展開図と見取図の対応する頂点の見つけ方
<見取図>
<展開図>
A
A
D
A
A
C
B
C
E
CHE
F
G
E
H
E
H
F
G
T
展開図で90度回転した時に重なる頂点は、
組み立てたときにも重なる
D
A
D
B
B
C
(3) 立方体の展開図の特徴
立方体のもっとも遠い2つの頂点を展開図上で結ぶと、
正方形を2つをならべてできる長方形の対角線になる
②直方体の1つの頂点は、 他の3つの頂点とつながっている
B
B
B
IC
H
F
G
G
A
E
C
G
D
C
E
E
H
E
※矢印の先の点は全て同じ
73

ページ75:

19. 3. 立方体の応用
立方体の個数を数えるときには、上から見た図を書いて、その場所にある個数 (高さ)を書いていく
立方体 (正六面体)のさいころは、1~6の目があり。 向かい合う面の目の数の和が7
(1) 立方体の個数を教える問題
(2) さいころ
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立方体の個数を数えるときには、上から見た図を書いて、
その場所にある個数 (高さ) を書いていく
立方体のさいころは1~6の目があり、向かい合う面の
目の数の和が7
(例) 下の図は、同じ大きさの立方体を積み重ねた正面、 真上、
左横から見た図を表しています。 このとき、 積み重ねてある
立方体の数は何個ですか? (渋谷教育学園幕張中)
正面から見た図 真上から見た図 左横から見た図
(答) 1真上から見た図を書いて考える
1
さいころを転がす問題は、一つずつていねいに考え、
上から見た図に、上・前後・左右の目 (数字)を書いていく
(例) アの位置に来た時の
サイコロの上の目の数字は?
左横から 2
見ると 39
1
132
正面から見ると
ア
②個数が確定するところから書き込む
1個しかないところ 1個しか積めないところ
1
2時
残りをうめる
(解)上の目は5
<スタート>
1
1
1
4
2. 1
2
12
156
16
453
【書き方のルール】
後
3*
34
|1| 2
132
1-
1-
1
1
★★
132
1463 146-31463
左上右
前
132
132
立方体の個数は、 1 +1 +2 + 1 + 3 + 2 + 1 = 11 [個]
74