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有限の
から第頂ま
r1のとき
1-r
比級数 Zon
は
確認して
基本 例題 125 2通りの部分和 S2n-16 S2 の利用
..........
(1) 級数 ① の初項から第n項までの部分和をS" とするとき, San-1, Sam をそれ
ぞれ求めよ。
(2) 級数①の収束、発散を調べ、収束すればその和を求めよ。
12/11/12/11/11/11/1①について
+
+
+
3 3
4 4
無限級数 1 --
指針 (1) S2- が求めやすい｡ S2 は S2=S2n-1+ (第2 項) として求める。
(2) 前ページの基本例題124と異なり、ここでは( )がついていないことに注意。
このようなタイプのものでは, Smを1通りに表すことが困難で, (1) のように,
S-1 S2 の場合に分けて調べる。 .........
そして、次のことを利用する。
(1) S21=1-
[1] lim S2n-1 = lim S2 = S ならば limS=S
22-00
11 00
{S} は発散
San S2n-1-
[2] lim S27-1≠lim San ならば
12-00
1
2 2
-1-(1/2-1/21)-(1/13-1/1)-
+
1 1 1 1 1
+
+
3 3 4 4
3)-..
Sp-Sn-1-1-1-1
=1-
748
limSn=1
-
lim S27-1=1, limS2"=lim(1-
00
上の例題の無限級数の第n項を
(2) (1) から
よって
72-00
したがって, 無限級数 ① は収束して, その和は1
21-00
検討 無限級数の扱いに関する注意点
3 3
+
2
2
71-00
1
n
(1-₁)=
n+1
1 1
-=+= 22
n
n
1 1
(1) ++++++
3
2
22 3² 2333
(2) 2-
4 4
・+
3
3
=1+
練習 次の無限級数の収束 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。
125 1 1
1
1
+......
JEDNU
1 1 と考えてはいけない。 ( )が付いている場合は,n
n n+1
番目の( )を第n項としてよいが,( )が付いていない場合は, n番目の数が第n項となる。
注意 無限級数では、勝手に( )でくくったり、項の順序を変えてはならない!
[例えば, S=1-1+1−1+11+ ·····=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...... とみて, S = 0 などと]
したら大間違い! (Sは公比-1の無限等比級数のため、発散する。)
S=02221
などと
ただし, 有限個の和については,このような制限はない。
__n+1
+
|基本 124
部分和 (有限個の和)なら
( )でくくってよい。
[参考] 無限級数が収束すれば,
その級数を、順序を変えずに
任意に( )でくくった無限級
数は,もとの級数と同じ和に
収束することが知られている。
n+1n+2
n n
211
n+1
(p.217 EX94
4章
15
無限級数
2
