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Mathematics Senior High

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三角 ■三角 000 102 重要 例題 57 関数の作成 ただし、点Pが点Aにあるときは y=0 とする。 CHART & SOLUTION 変域によって式が異なる関数の作成 図のような1辺の長さが2の正三角形ABC がある。 点P が頂点Aを出発し、毎秒1の速さで左回りに辺上を1周す るとき,線分APを1辺とする正方形の面積y を,出発後 の時間(秒) の関数として表し, そのグラフをかけ B ガウ 補充 例題 58 [a] は実数αを超えな (1)[√5], [1], [ (2) 関数y= [x] ( sin tan 三角 in 場合分けの境目の値を見極める ① xの変域はどうなるか→ 0≦x≦6 ②面積の表し方が変わるときのxの値は何か →x=2,4 点Pが辺BC上にあるときのAP2の値は,三平方の定理から求める。 an 80 解答 y=AP2 であり, 条件から,xの変域は CHART & SOLU 定義が与えられた問 定義に忠実に従 (1) [a] は,実数αを (2) (1)から,次のこ nを整数とす このことを利用して 0≤x≤6 [1] x=0, x=6 のとき [2] 0x2 のとき よって y=x2 点Pが点Aにあるから 点Pは辺 AB上にあって y=0 AP=x 解 答 P [3] 2<x≦4のとき 点Pは辺BC上にある。 (1)√5,1,- 辺BCの中点をMとすると, BC ⊥AM であり よって, 2<x≦3 のとき BPM、 BM=1 x-2 ここど帖 そのとき 3<x≦4 のとき PM=1-(x-2)=-x PM=(x-2)-1=x-3 からだめで、 ここで AM=√3 ゆえに, AP2=PM2+ AM2 から y=(x-3)2+3 [4] 4<x<6 のとき 結局2<x≦4 のとき PM= [x-3 頂点 (3,3), 軸 x=3 よって (2) −2≦x< 点Pは辺 CA 上にあり, PC=x-4, の放物線。 AP2=(AC-PC)2 から y4 y=(x-6)2 ←{2-(x-4)}=(6-x)^ [1]~[4] から =(x-6)2 4 3 0≦x≦2 のとき y=x2 頂点 (6,0), 軸x=6 の放物線。 2<x≦4 のとき y=(x-3)2 +3 4<x≦6 のとき y=(x-6) 2 0 234 6 x に含まれる グラフは右の図の実線部分である。 PRACTICE 57 4/7× x=6, y=0 は y=(x-6) [e]-[I] A→B→C→D→Aの順に辺上を1周するとき, 線分AP を 1辺とする正方形の面積 1辺の長さが1の正方形ABCD がある。 点Pが頂点Aを出発し、毎秒1の速さで yを出発後の時間x (秒) の関数で表し, そのグラ あるときは y=0 とする。 ただし、点Pが点Aに PRACTIC [a] は実数 (1) 1/3 (2)関数 -1≦x< 0≦x< 1≦x< 2≦x< x=0, y=0 は y=x2 に, x= よって, になる。 すると、53433+30+x=180°X= 123

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Mathematics Senior High

この問題の余弦定理の仕方を教えてください!!

of 32 でできる 準 128 三角形の辺と角の決定(1) <基本例題126 00 △ABCにおいて,b=2√6.c=3√2+√6, A=60° のとき,残りの辺の 長さと角の大きさを求めよ。 CHART ズーム UP 正弦 GUIDE 三角形の形状を調べる 正弦定理, 余弦定理の利用 ■ 条件は,2辺b, c とその間の角 余弦定理を利用してαを求める。 正弦定理または余弦定理を利用してBを求める (下では正弦定理を用いている)。 ) 3 残りのCを, A+B+C=180° から求める。 解答 ■ 余弦 α=6を 定理を利 余弦定 余弦定理により a2= (2√6)+(3√2+√6) -2-2√6 (3√2+√6) cos 60° =24+ (18+12√3+6) -4√6 (3√2+√6). A 60° 3√2+√6 2/6 B B a C <-√2√6 =√2.√2√3 =2√3 =36 a0 であるから a=6 a 6 2√6 正弦定理により sin A sin B sin 60° sin B よって sin B= 2√√6 6 2√6 √3 √√2 √2 1 •sin60°= 6 2 2 2 /2 である。 したがって B=45°, 135° C=180°(A+B)に [1] B=45°のとき B を代入して 0° <C<180°を満たす C=180°-(60°+45°)=75° [2] B=135°のとき C=180°-(60°+135°)=-15° 以上により B=45°, C=75° よっ かどうか調べる。 I これは不適 参考 B=45°135° を導いた後、次のようにしてもよい。 B+C=180°-A=120° であるから B <120° ゆえに B=45° (Cの求め方は同様) わかっている 補足 この例題では、右のページでも紹介するように解法が複数あるなど判断に迷う要素が い。ただし、三角形の合同条件からわかるように、2辺と間の角が与えられている場合 三角形は1通りに定まる。 TRAINING 128 ③ △ABCにおいて,a=√6+√26=2,C=45°のとき、残りの辺の長さと角の大 さを求めよ。

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English Junior High

英語の長文についてです。 写真↓の長文の音読に10分も時間がかかりました。5分に縮めるための解決策を教えて下さい。 ○今の自分の読み方 ・読んでいるところを見失わないように指でなぞる ・英文を1語1語読み込みすぎない ・英文を和訳するときに戻り読みをしてない        ... Read More

都立プレOP 1015 次の文章を読んで, あとの各問に答えなさい。 3 (*印がついている単語・語句には、本文のあとに 〔注〕 がある。) Food is useful and delicious. It gives us energy for daily life and many good things for our bodies. But if we do not take care of food, we may get *food poisoning. So, how can food *stay good for a longer time? And what can you do at home to make your food safe? Fresh food does not stay good for a long time. Many foods *go bad in a few days. Some change fast even in a few hours. Warm weather and water make this problem bigger. Very small living things can grow on food and in food. These living things are *microorganisms, and some of them are *bacteria. They can come from the air, hands, tools, and tables. When they become many, food can change. The color can change, and a strange *smell may appear. So people keep creating many ways to *preserve food. This means that food stays good longer, and it is safer to eat. One of the oldest ways is drying. Drying takes water out of food. With less water, microorganisms do not grow fast. Then food can stay good longer. Look at Picture 1. Long ago, people put food under the sun and in the wind for many hours. Dried fish and dried fruit are good examples. Drying makes food light and (1)-a So dried food was useful for travelers on long trips. However, dried food can change quickly after it becomes wet again. So people needed a dry place and a closed bag. 1 II Li Drying can also change the *taste and the feeling in the mouth. For example, grapes can become (1)-b Dried grapes taste good. On the other hand, when a bag of dried food is open on a very easy to carry very small and sawetan take in water. Then it may not taste good, and bacteria may start to grow. After that, the food may go bad soon. boll To make food drier, people used more ideas than just the sun and wind. One idea was salt. Salt could pull water out of food, and the food could become drier. For example, people put salt on fish, and then they put it outside. The fish became dry and very salty. It stayed good for many days, so people could eat it later. Before cooking, people often washed the fish in water, and some salt went away. Another idea was *smoke from a fire. People hung meat or fish over a small fire for many hours. The smoke made the food drier, and it could give a special smell and taste. This food stayed good longer than fresh food. But if the inside was still wet, it could go bad. These ways are still used today in many places.00 yw yron al sobi blo Another old idea is cooling. When the temperature goes down, changes in food become slower. Bacteria also grow more slowly. Today, many homes have a *fridge, but long ago, people used nature. In cold areas, people used snow and ice. In other places, people used cool places in the mountains or cold river water. Later, people built special places for ice. They put ice in ice houses with thick walls, and the ice stayed (1)-c . Look at Picture 2. In Japan, people built a special building. It was a himuro. They used it old for many mice for the summer. In winter, they brought snow and ice from cold places and put them inside. Even today, the same idea is useful. An *ice pack can alad be(2) But it slowly turns cool a lunchbox for some time. 9

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Mathematics Senior High

赤丸で囲っている不等式のイコールはなぜ付けれるのですか?またそれって必要ですか?

192 947 重要 例題 113 漸化式と極限(b) 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2,3, (1) 0<a<3を証明せよ。 (2)3-an+1 < 3 (3) 数列 {a} の極限値を求めよ。 00 ……)を満たすとき (3-an) を証明せよ。 [類 神戸大] p.174 基本事項 3 基本105 指針>(1)すべての自然数nについての成立を示す数学的帰納法の利用。 (2) (1)の結果,すなわち an > 0, 3-a > 0 であることを利用。 (3) 漸化式を変形して,一般項 annの式で表すのは難しい。 そこで, (2) で示した不等 式を利用し, はさみうちの原理を使って数列 {3-an} の極限を求める はさみうちの原理 すべてのnについて nan≦gn のとき 818 limp = limgn=α ならば liman=a 1110 なお、次ページの補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1)0 <an<3 ...... ① とする。 [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<ak <3 n=k+1のときを考えると, 0<ak <3であるから ak+1=1+√√1+ak >2>0 ak+1=1+√1+ak <1+√1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 08 よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。 (一 [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 (2)3-an+1=2-√1+an (3)(1),(2)から 1 n-1 lim( nco 3 したがって tan2+,/1+an</3(3-an) 0<3-a)(3-as) (3-1) = 0 であるから lim(3-an)=0 N11 liman=3 n→∞ 練習 3 =2, n≧2のときan=- 3 113 数学的帰納法による。 <0<a<3 補足 重要例題1 る場合は とよい。そ 漸化式 ① 極限 liman ②/am 3 27 limk したが 例えば, が考えられ ① 極限 a-1= 漸化式 ant 2 Jan <0<ak から √1+α>1 |an+1 lan- ak<3 から 1+ax < 2 <3-a>0であり, か ら 2+√1+α>3 n≧2のとき, (2) から 3-an<-(3-an-1) <()*(3-- -an- n-1 <(+)*(3-as) -12 Van-1-1/2 を満たす数列 (cm)について (1) すべての自然数nに対してan>1であることを証明せよ。 (2) 数列{a} の極限値を求めよ。 〔類 関西大 ゆえに 30< したが 注意 の 例 y

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Mathematics Senior High

2枚目の写真は私が解いたものなのですが、模範解答と解き方が違い、その上間違えていました。 私の解き方では解けないのでしょうか? また、解ける場合私の解答の間違っている部分を添削していただきたいです🙇🏻‍♀️

196 基本例題 116 ある区間で常に成り立つ不等式 00000 0≦x≦のすべてのxの値に対して,不等式 x-2mx+m+6> 0 が成り立つよ うな定数mの値の範囲を求めよ。 [類 奈良 基本 82 指針 例題115 と似た問題であるが, 0≦x≦8 という制限がある。ここでは 「0≦x≦8 において常に f(x)>0」 を 「 (0≦x≦8 における f(x) の最小値) >0」 と考えて進める。 CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連付けて考える 求める条件は,0≦x≦8 における f(x)=x2-2mx+m+6のf(x) 解答 最小値が正となることである。 f(x)=(x-m)2-m²+m+6であるから, 放物線y=f(x)の 軸は直線x=m となり,最小値はf(0)=m+6 [1] m<0 のとき, f(x) は x=0 で最小 [1] ゆえに m+6>0 よってm>-6 m<0であるから(*) -6<m<0 ① [2]0≧m≦8のとき, f(x) は x=mで 最小となり、 最小値は ゆえに f(m)=-m²+m+6 -m²+m+6>0 [2] m 0 8x =x2-2x+m+6 (0≦x≦3)の最小値 を求める。 → p.140 例題 82 と 同様に,軸の位置が 区間 0≦x≦8の左外 か,内か, 右外かで場 合分け。 [1] 軸 は 区間の左外 にあるから, 区間 の左端で最小。 [2] 軸は区間内に あるから 頂点で 最小。 [3] 軸は区間の右外 すなわち m²-m-6<0 これを解くと, (m+2)(m-3)<0から -2<m<3 にあるから 区間 0m8 x の右端で最小。 0≧m≦8であるから(*) 0≤m<3 ...... ② [3] 8<m のとき, f(x) はx=8で最小 となり,最小値はf(8)=-15m+70 14 [3] ゆえに, -15m+700からm< 3 (*) 場合分けの条件を 満たすかどうかの確認 を忘れずに。 [1], [2] では共通範囲をとる。 m これは8mを満たさない。 求める の値の範囲は, 1, ②を合わ (*) 0 8 x (S) 合わせた範囲をとる。 せて -6<m<3

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Mathematics Senior High

(3)で、判別式をつかうのってx軸と共有点があるかどうかじゃないんですか? 直線と放物線の共有点も求められますか?

次の放物 (1) y=x², y=-x+2 (3) y=ax-6x+1, y=2x-4 つか。もつときは、その座標を求め (2) y=-x+1, y=4x+5 した -mx+c_ Dとすると ・もつ もつ。 放物線y=ax+bx+cと直線y=mx+nの共有点の座標は、 指針 連立方程式 y=ax+bx+c y=mxtn の実数解 (x, y) で与えられる。 特に,yを消去して得られる2次方程式 ax+bx+c=mx+nが重解 をもつとき、放物線と直線は 接する。 また、実数解をもたないとき, 放物線と直線は共有点をもたない。 CHART グラフと方程式 共有点 実数解 接点⇔重解 y=x2 (1) (1)- y4 解答 v=-x+2 点の とする。 ① ② から を消去すると x2=-x+2 2 整理すると x2+x-2=0 よって (x+2)(x-1)=0 1--- ゆえに x=2,1 ' ①から x=2のとき y=4 -2 O 1 2 x=1のとき y=1 したがって, 共有点の座標は (-2, 4), (1,1) y=-x2+1 ① (2) (2) とする。 y=4x+5 15 ① ② からyを消去すると 整理すると x²+4x+4=0 | | -x2+1=4x+5 とひとす 1 -2 O x よって (x+2)20 ゆえに x=-2 (重解) このとき, ②から y=-3 したがって, 共有点の座標は ・3 I>A (-2,-3) (3) 整理すると y=4x2-6x+1・ y=2x-4 ① ② から」を消去すると この2次方程式の判別式をDとすると =a とする。 「点をも (3) ...... ② 4x2-6x+1=2x-4 4x2-8x+5=0 お前の 3-4T!! 00 2 5-4 5' 01=(-4) -4.5-4 D<0 であるから,この2次方程式は実数解をもたない。 したがって, 放物線 ①と直線②は共有点をもたない。 に られた次 する

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