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14 不等式と漸化式
(1)x>0のとき,不等式 1/2(x+1/22) 221 を示せ、また等号が成り立つのはどのようなときか
(2) 数列{a} を, a1=2, an+1= 2/3(an+1/2)(n=1,2,3,..)で定める。
1
(i) n≧1 のとき, an>an+1>2を示せ.
2. 2
2
(ii) n≧2のとき,
を示せ.
an+1
an
2
2
an
3
an-1
2
2\n-1
を示せ.
2
3
an
(i) n≧1のとき, 0<an+1
an+1 <kan
不等式の証明
(金沢大文系)
k>0,an>0のとき, an+1 <kan をくり返し用いて, am <kn-la を導くことができる。
A>Bを示すには, A-B>0 を示すことを目標にするのが基本方針.
②なり
解答量
(1) 与式の分母を払い、2-3・2332+20 これを示せばよい。
左辺を因数分解して(x-21) (2+2号)
D
←t=23 とおくと,
2x3-3t2+1=(x-t) (2x+t)
>0のとき ①≧0 (等号はx=23)であるから示された。
ant
3
= (a+11)
(2)(i)/a>2号と(1)より,帰納的に4741=
an
2
an
3-2
3an2
an
2
1
->0 (an>23)
2
1
また, an-an+1=an-
3
ant
1
よって,amam+1 > 2
2
2
1
=
2
an
3
an
2
2
(iii) an+1)
=
an
2
=
2
よって,,>2/1/3(n≧1)が成り立
つ これを帰納法で示すと丁寧.
(an> Ants >2} (1+4)
XA-Bo
2
(日))
(ii) an+17
2
2
=
an
2
2
an
3
2
an
an
2
3
an
an-1
->0 (an>23)
2
an
3-2
-(-)->
2 3
an
2
3
2
n=1のとき=1で与式は成立する.n≧2のとき (ii) をくり返し用いて,
an+1
2
an
2
2
3
an
2
<
an-12)
n-1
a2
22
33
2
a₁2
an-1
2
An-22
n-1
・1=
2\n-1
(号)
an-1
_2
an-2
0<an <an-1より
2.
1+4 an² <an-12
2
=
a2
2
a1
上式
2-3 2-3
2
2
2
an
an-1
03-2
2
223-2
22
=1
2
