(2) 解答と解き方が違うのですがこれでも合ってますか？ はさみうちの原理を使わないとだめですか？

練習 次の極限を求めよ。 2-2 ③ 105 1 nл (1) lim -sin (2) lim + +...+ nn+1 2 (n+1)2 (n+2)2 (3) lim + +...+ 180 n2+1 √n²+2 √n²+n A (2n)2 HINT はさみうちの原理を利用。 (2),(3)については, k = 1, 2, ...... nに対して } 4章 練習 (2) (3) (n+k)² n' √n²+n = √n²+k く が成り立つことを利用。 n nπ 限 注意 (1) -1≦sin ≦1であるから liml n→∞ 2 ≤ n+1 n+1 (-21-1) = 0, lim- n+1 1 (2) 1 2 (n+k)² n² an= 1 2 1 nn+1 1 = nπ 1 -sin- S 2 n+1 = 0 であるから lim -sinm =0 n→∞n+1 2 (k=1,2, ..., n) であるから, (n+1) (n+2)2 2 n² •n= 1 1 + +…+ とおくと (2n) 2 1 1 an<- 3 さ よって 1 0<an< 1 n lim=0であるから non n ←-1≤sin≤10 辺を n+1で割る。 sor ←はさみうちの原理。 ←0<n²<(n+k)² =("S-"E)mil (S) I-g mil mil (8) + liman=0 ←はさみうちの原理。 n→∞

(2) マーカーの部分の意味がわかりません。 解説をお願いします🙇‍♀️

基本 例題 105 数列の極限 (4) (1) 極限 lim COS Nπ を求めよ。 81U n 1 (2) an= + n2+1 n2+2 ++ 1 … はさみうちの原理10000 *** 183 4章 p.174 基本事項] 14 n²+n とするとき, lima を求めよ。 n18 指針 極限が直接求めにくい場合は, はさみうちの原理 の利用を考える。 liman=limbn=α はさみうちの原理 すべてのnについて an≧m≦b, のとき) 818 818 ならば limcn=α 118 ~ (不等式の等号がなくても成立) COS Nд (1) an≤ 1 n (2) n²+k n' bn の形を作る。 それには, かくれた条件-1≦cos0≦1 を利用。 A (k=1, 2,...,n)に着目して, am の各項を 12/27 におき換えてみる。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち n² 8508 (1) 数列の極限 1 COS Nπ 1 ・ 【各辺をnで割る。 n n n lim 常にCOS Nπ =0 はさみうちの原理。 n→∞ n -1≦cosnz≦1であるから 解答 (1) ! lim (2) 8012 1 1 1/2)=0,lim = 0 であるから n 1 n²+k an = n 1 non (k=1, 2,...,n) であるから +: .... + n²+n 1 n= 2 n° n 1 ・+ = 1 n 2 lim- = 0 であるから n→∞n liman=0 n→∞ <n²+k>n²> 0 2 各項を12でおき換える。 10≦liman≦0 12100 <=0 1 + -1 n2+2 1 + 2 2 n n 1 よって 0<an< n

なぜ有理化しているんですか

46 重要 例題2 漸化式と極限 (はさみうち) 00000 {an} について,次の(1),(2),(3) を示せ。 0<a<3,+1=1+√1+an (n=1,2,3, …………) によって定められる数列 [類 神戸大] (1) 0<an 3 (2) 3-an+1 < (3-an) 1 3 (3) liman=3 n→∞ % p.33 基本事項 3.基本15 CHART & THINKING 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 漸化式を変形して,一般項 αn をnの式で表すのは難しい。 小間ごとに,どのような方針を とればよいのか考えてみよう。 (1) すべての自然数nについての成立を示すから,数学的帰納法を利用。 そのために, 何 を仮定すればよいだろうか? (2)(1)の結果を利用。与えられた漸化式をどのように使えばよいか考えてみよう。 (3)(1), (2) で示した不等式を利用し, はさみうちの原理を用いる。 数列 {3-αn} の極限を 求めればよい。 はさみうちの原理 すべての自然数nについて an ≦ のとき liman=limbn=α ならば limcn=α 818 n18 →∞ (2)の不等式は繰り返し用いる。 どのように利用すればよいか考えてみよう。

56の（ 1）がわかりません。 解答では一般項が a n＝ nで♾️が答えとなっていましたが、 一般項は 1じゃないですか？

また n-1 n≧2のとき an=a+22″=1+ k=1 数列{bm} は, 初項 2,公比2の等比数列であるから,一般項は 2(2n-1-1) 2-1 初項α, 公比の無 bn=2" =2"-1 無限級数の性質 無限級数a, α =1であるから,この式はn=1のときにも成り立つ。 (2) liman=lim (2"-1)=∞ 啓 818 圈 an=2"-1 1. 2ka=kSt * 55 ☑ {a}について,次の問いに答えよ。 a=0, a2=4, an+2=6an1-5an (n=1,2,3, ...) で定められる数列 4 無限級数の収束 1. 無限級数24 2. 数列{a} が 注 2は1の対 (1) 数列 {a} の一般項を求めよ。 (2) 数列{a} の極限を求めよ。 56 次の条件で定められる数列{an} の極限を求めよ。 (1) a1=1, a2=2, an+2+an=2an+1 (n=1, 2, 3, .....) *(2) a1=0, a2=1,34n+2-54n+1+2an=0 (n=1,2, 3, ......) EC問題 570 のとき,自然数nについて,不等式(1+h)"≧1nh+n(n-1) 成り立つ。このことを用いて, 数列 {2} の極限を求めよ。 n 2 58 次の無限 *(1) 21- 2.5 hが * (2) 1. *(3) 1 (4) -

a1 が 4分の3になる理由が分かりません

O 50 重要 例題 25 確率に関する漸化式と極限 00000 Aの袋には赤球1個と黒球3個が,Bの袋には黒球だけが5個入っている。 それぞれの袋から同時に1個ずつ球を取り出して入れ替える操作を繰り返す。 この操作を繰り返した後にAの袋に赤球が入っている確率をanとする。 (1) an を求め(liman を求めよ。類名城大 CHART & SOLUTION 711 基本19 重要 24. 数学B 基本 回後と (n+1) 回後から漸化式を作る ***** 確率の極限 回後に,どちらに赤球があるかで場合分けして考える (赤球が) n回後 (n+1) 回後 3 (右図参照)。 n回後に赤球がAの袋にある確率は an で あるから,Bの袋にある確率は 1-αであることに注意 し, + と の漸化式を作る。 解答 =1-01 Aにある an X- → an+1 Bにある 1-an 5 E A —— 5 11 an+1= Fan+ an+1 数列 10.4 は,初項ai-100 (1) (n+1) 回繰り返した後にAの袋に赤球が入っているのは [1] n回後にAの袋に赤球があり,(n+1)回目にAの袋から黒球が出る [2] n回後にBの袋に赤球があり,(n+1) 回目にBの袋から赤球が出る のいずれかであり,[1], [2] は互いに排反であるから an 31 an+1=an1+(1-an) - 4 2/10an + 1/3 を変形すると 4 $3 4 11 61 11 とくせい 方程式 11 11 1 -an 20 5 4 = an 9 20 44) 特性方程式 の解は 11 公比 4 9 36 " 20 a= 等比数列であるから 11/11\n-1 69 an = 9 36 20 よって 11/11\n-1 an = 36 20 + 9 (2) liman=lim 11/11\n-1 4 n→∞ n→ 00 36 20/ a+ 9 lin 内 11\n-1 no 20 =0.0 PRACTICE 25º OPS 三角形 ABC の頂点を移動する動点Pがある。移動の向きについては,A B→C, C→Aを正の向き, AC, C→B, BAを負の向きと呼ぶこ する。硬貨を投げて,表が出たらPはそのときの位置 う1度硬貨を投げ ・キ

青いマーカーの式を黄色いマーカーの式に変換するのはなぜですか？ 青い式のままルートn分の1でわるのはだめなのでしょうか？

STEP B 35 次の極限を求めよ。 ただし, 0 は定数とする。 1 *(1)_lim COS (2) lim n→∞n 36 次の極限を求めよ。 □ 38 38 (1) lim n→∞ □ 37 次の極限を求めよ。 * (1) lim 118 Nπ 4 * (3) lim 118 vn+5-vn+3 √n+1-√√n 818 1+2+3+ ....+n 2 n² 3 +7+11+ ···+(n-1) 3+5+7+ ······ + (2n+1) 9 sin²r 2 n→∞ n²+ *(2)_lim 第1 n→∞ n (2) lim n→∞ 次の条件を満たす数列{an} の例を それぞれ1 (1) すべての n について an>5 で lima=5 (2) 各項が互いに異なり, {an} は収束しないた (4) lim n→∞ n→∞ 39 数列{an}, {bn},{cm} について 次の事柄は 正しくないものは、その反例をあげよ。ただ (1) liman=∞ limb =∞ ならば n→∞ * (2) limα=∞, limb = 0 ならば lim N→ lim

解答の線を引いたところについて質問です。 なぜ0より大きいと分かりますか？ また0より大きいからなぜ逆数を取れるのですか？ 小さいと取れませんか？ そしてこの逆数を取るというのは暗記ですか？ 質問多くなってしまいすみません🙇 よろしくお願いします☀️

例題3 漸化式で与えられる数列の極限 次のように定められる数列{an}について, liman を求めよ。 n-00 考え方 解 a=1, an+1= 漸化式の両辺の逆数をとり, = b, とおくと,数列{bn}についての漸化式を an 導くことができる。 an+1 すべてのnについて an> 0 となるから, 漸化式の両辺の逆数をとると, 1_an+1_1 +1 an an an an+1 よって, このとき, bn+1=bn+1, b₁=1=1 数列{bn}は,初項 b1=1, 公差 1 の等差数列であるから, bn=1+(n-1)・1=n (n=1, 2, 3, .....) 1 - = b, とおくと, an an= 1_1 bn n 12 00 1 n→∞ n liman=lim i=0

解答の①のところはなぜｎ個と分かりますか？ よろしくお願いします☀️

9. 次の数列{an}の極限を調べよ。 1 口 (1) * an 2n+1 {1-2+3-4+ …..... -2n+(2n+1)}

数Ⅲの極限です。 マーカー部分なのですが、上では＜だったのに下で突然≦になったのは何故でしょうか？ なにか意図があって変えているんですか？それとも極限を求めるにあたって=の有無はどうでもいいから付けといたみたいな感じですか？💦

9 はさみうちの原理 a1=0, an+1= 4 (1) 0≦a<1が成り立つことを,数学的帰納法で示せ. (2) 1-an+1< が成り立つことを示せ . 1-an 2 (3) liman を求めよ. n→∞ an²+36 FESJARIL (n=1, 2, ......) で定義される数列{an} について 1 2n-1 (1)により, 解けない2項間漸化式と極限 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式 an+1=f(an) で定まる数列の極限値を求める定石として, 以下の方法がある. 1°am の極限が存在して, その値がαならば, liman = α, liman+1 = α であるから, αは α = f(α) を 満たす. これからαの値を予想する. n→∞0 n→∞0 2°与えられた漸化式 an+1= f(an) と α = f (α) の辺々を引くと, an+1- α = f(an) - f(a) となる が,これから, |an+1-α|≦k|an-al, kは 0≦ん<1である定数 ..☆ の形の不等式を導く.すると,|an-α|≦klan-1-a|≦ke|an-2-a|≦... ≦kn-1|a-a| 0≦an-akskn-1|α1-α| limk"-1|a-α|=0 であるから, はさみうちの原理により,|an-α|→0 言解答量 (1) n に関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する. n=kでの成立,つまり 0≦x<1が成り立つとすると,k+1 について, 0≤ak+1 <1 4 4 よってn=k+1のときも成立するから, 数学的帰納法により示された . DATART an² +3 1-an (2) 漸化式から, 1-an+1=1- (1-an) 4 4 1-an>0であるから, 1+ an 4 n→∞ (なお、要点の整理・例題 (8) から,☆のkは定数でないと, an →α とは結論できない) 02312+3 -≤ak+1 <= < 1+1=1/12/2 4 .. 1-an+1< -1</2/(1-an) (3) 1-a>0と①を繰り返し用いることにより, 1 1 0≤1-an < (1-an-1)< (1- -an-2)<... <- 22 2n-1 1tan_ 4 (解答は27) -(1-a₁)= - 0 より はさみうちの原理から lim (1-4m) = 0 n-00 1 2n-1 liman=1 (岡山県大・情報工-中) 1118 :. an→α (n→∞) 0≦x<1のとき,02≦a² <12 ←漸化式を用いて1-Qn+1 を anで 表す. 本問の場合、求める極限値をα として, 1° を使うと, a²+3 α= 4 からαの値が予想できる. a=1, 3

下から2行目のonly to returnについてお聞きしたいのですが、ここから後の文構造が分からないので教えて頂きたいです。

Home advantage is a well-documented phenomenon in certain sports, such as baseball and soccer, where teams are statistically more likely to win when playing at home than when playing away games. One proposed explanation for this is the ( 29 ). However, author David Runciman notes that if this were true, there would have been a much bigger reduction in home advantage over the past century than there has been, since luxuries such as first-class flights, fancy hotels, and accompaniment by therapists for athletes playing away from home have become standard. Another potential factor is players' familiarity with their home field. Although sports fields do not differ significantly from one place to another, Runciman points out that being familiar with even minor aspects of one's surroundings can "enhance confidence in the performance of repetitive physical tasks." ( 30 ) when a team moves to a new home field. The team's home advantage initially goes away, only to return once the athletes get used to their new surroundings.