例題 95 { r7 } の極限 (1)
次の極限を調べよ.
(1) lim (3"-2")
n→∞
解答
考え方 まず,指数法則を用いて,式を整理する.
次に,”のrの大きさから極限を調べればよい.
このとき, 「|x|<1 のとき limr”=0」 を利用するために,
よって,
I (2) lim
n→∞
(3)
(2) lim
n→∞
公比の絶対値が最大の項でくくり出し, 分数のときは分母,
分子を割るとよい.
TE01
(1) 公比が最大の項は3” なので3” でくくり出す.
(2) 分母の項のうち公比が最大の項は4” なので,分母,
分子を 4” で割る.
(3) 指数法則で整理した後,公比の大きさを調べる.
(1) lim (3"-2") = lim3"{1-(23)"}
n→∞
4+1+(-3)+1
4"+3"
4n+1+(-3)n+1
4"+3"
r=
n→∞
このとき
=8
正の無限大に発散する.
したがって,
=lim
n→∞
√3-√2
r= (√2-1) 2
(√3-√2)(√3-√2)" =(√3₂-43)*
4)
√√√3-√2
=
(√2-1) 2
(√2-1)².
ここで,
_/√3-√2_√3-√2
=
(√2-1)23-2√2
4-3(-³)^__
3n
1+ (³) ²
よって,
lim
n→∞
正の無限大に発散する
(分子)-(分母)=(√3-√2)-(3-2√2)
=√3+√2-3>0」
(√3-√2)
(√2-1)2n
n
とおくと,mil
=4
(3) lim
n→∞
√3-√23-2√2>0 より, r>1
-=lim"=∞ より
n
n→∞
ae
(√3-√2)"
(√2-1)2n
< { r"} の極限〉
r>1 limr"=8
r=1
|x|<1 limr"=0
n→∞
limr"=1
n→∞
n→∞
r≦-1{r"}は振動
公比が最大の項3” でくくる.
2n
CORN
lim3" =∞, lim
n-00
12-0
公比が最大の項4" で分母,
分子を割る.
4n+1=4×4"
2
( ²³ ) ² =
3
=0
(−3)+1=-3×(-3)"
指数法則を用いて整理する.
の大きさを調べる.
|√3=1.7...,√2=1.4...
Dede Sint
