本例題 47
数学的帰納法と不等式の証明
00000
5を満たす自然数nに対して, 2">n2 が成り立つことを数学的帰納法に
よって証明せよ。
CHART & SOLUTION
423
420 基本事項 1. 基本 45
1号
10
とい
数学的帰納法 (一般)
[1] 出発点は n=1 に限らず
[2]n=kの仮定から n=k+1 の証明
この例題では,n≧5 であるから,まず
[1] n=1 のとき の代わりに [1]n=5のとき
を出発点とする。
また,不等式 A>B を証明するのであるから, A-B>0 を示せばよい。
解答
2">n2..
① とする。
[1](n=5のとき
(左辺) =2532 (右辺 =5225
ゆえに、不等式①はn=5のとき成り立つ。
[2]k≧5として、n=kのとき①が成り立つと仮定すると
2kk2
n=k+1 のとき, ①の両辺の差を考えると
2k+1_(k+1)=2.2"-(k+2k+1)
>2k²-(k+2k+1
すなわち 2 +1(k+1 ) 2
=k2-2k-1=(k-1)^2>0
よって、n=k+1のときにも不等式①は成り立つ。
[1][2]から5 を満たすすべての自然数nについて不等
式①は成り立つ。
INFORM
(左辺) =2+1
()=(k+1)²
2.2k2k2
k≧5 であるから
(k-1)^2はk=5 で
最小値14 (0) をとる。