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328
重要 例題 220 面積の最大・最小 (2)
aを正の実数とし,点A(0,
CHAI
P (1, α) を考える。 曲線Cとy軸, および線分 AP
546) &&28, 5(4) HEROESOMERO
CHART
解答
OLUTION
面積の計算 まずグラフをかく
① 積分区間の決定
② 上下関係を調べる
S(a)は,区間 0≦x≦1において直線AP と曲線の間の部分の面積である。
ず 2点A, Pの座標から直線AP
なお,本間のS(α) はαの分数式で表される (分数関数) が
積が定数となる正の数の和
S(a)=
y-(a+;
1
2a
at
y=-
00000
12/12) と曲線C:y=ax2 およびC上の点
18
√√√6
4
るが, a>0 から a=y
2a
直線AP の方程式は
すなわち
よって、 右の図から
-SH(-
-ax² dx
-x+a+
2a
2
- [ - 3 x ² - 1 2 x ² + ( a + ₂ a) x ] = = = a + 1/
=-
4a
2a,
4a
AP で囲まれる部分の面積を
a- (a + 2a) x
1
1-0
=x+a+
・ (相加平均) (相乗平均) を利用。 ・・・・
X20
1
2a
a>0 であるから,相加平均と相乗平均の大小関係により
s(a)= ²3a + 12 ²2 √/²3/a-1 = 2√/ == 3
2
1 √6
-≥2,
=2,
4a
6
&
等号が成り立つのは 12/24
12/30 1/10 すなわちd=2123 のときであ
4a
8
のときである。
6
よって,a=2で最小値- をとる。
3
基本30,210
Face-
+12/11
ata
S(a)
重要 例題
つの放物
(1) C₁ (
(2) 放物線
=a+
-a+
y=arl
CHART
別解 Q(10) すると
S(α) = (台形OAPQ)
-Sax²dx
==—= (a + ( a + 2 )|-¹1
1
a
4a 3
Q
1
4a
曲線
(1) 2
な方針
のx座
(2) 被積
解答
(1)y=(x-1) 2
よって, Ci上
y-(a-1)²-
y=x2-6x+5
よって, C2 上
y- (62-66-
直線 ①, ② -
2(a-1)=26
③から
a=
よって
b=2
① から、求め
(2) C₁ C₂ 0
であるから
ゆえに、求め
s=Si
PRACTICE･･･ 220④
放物線C:y=x2 上の点P(α, d2) における接線をl とする。 ただし, a>0とする。
(1) 点Pと異なるC上の点Qにおける接線l2 が l と直交するとき,l2の方程式を求
めよ｡
(2) 接線 l1,l2 および放物線Cで囲まれた部分の面
Date
とき S (a) の最
+C
PRACTICI
