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369.372の方程式では真数は正であるというのを回答に書いていないけど369.373.374では真数はせいであると書いています なぜですか違いはなんなんですか

112- -4STEP数学 371 (12)と買取を入れ替えて、をそろえる。 abc.dを満たすと (3)1.5とする対数で表し、 log 数で表し、 log4-log.0.3 logo4Toge (1)から log 4-log,3 4は1より大きいから log,03 <0<log,2<log.3 したがって Tog.0.3 ゆえに log4<log,4<log,4 (2)の変換公式から log 0.5-- logas 0.3 log: 0.5 Togas log 0.5Togasa 373 (1)数であるから よって ゆえに 整理して すなわち、 x>0 かつ+30 x>0 変形すると (x+3)=2 x+3x40 (x-1xx+4)-0 ①から、解は x=1 (2) 数は正であるから よって (x+3) 2x+30 かつ 4x+10 方程式を変形すると すなわち ゆえに log,2 整理して すなわち、 ①から、解は log (2x+3x4x+1)=log. log (2x+3.4x+1)=log. (2x+34x+1)=25 4x+7x-11=0 (x-1x4x+11)=0 x=1 (3) 真正であるから 3->0 2x+18>0 よって 9x3••• D 方程式を変形すると log, (3-x)=- log2 (2x+18) log:4 すなわち したがって Togas2 ゆえに <<< Togas 0.3 2 両辺に2を掛けて 0.5は1より小さいから logas3<logas2<0<logas 0.3 log0.5logy0.5loga 0.5 (3) 1.5mlog,4log,4=log,8 1.5 log,9¹-log,9%-log,27 9は1より大きいから すなわち ゆえに log2(x)10g (2x+18) 210g(3-x)=log(2x+18) log (3-x)=log,(2x+18) (3-x)²=2x+18 x²-8x-9=0 よって 不等式をするとか (3)10 -3x-1050 (x+2xx-5)≤0 -25155 113 であるから、 1>3 3>かつぇ0 logo-3)x log 10 () であるから 方程式を変形すると ( すなわち ( 1200 1-9. これを解いて ①のから、解は ② (3) 真正であるから 1-x>0 かつ3-0 よって<1e 1+log:3log2log3logであるから、 与えられた不等式は log2(x) (3) <log,6 2は1より大きいから (1-xx3x) <6 整理して を解いは x-4x-3<0 2-√7 <x<2+√T 2-√<x< 375 (1) 方程式の辺は正であるから、2を底上 すると よって ゆえに log,2'-log 3-1 x-(2x-1)log,3 (2log:3-1)x-log,3 20g 3-10 であるから 2-logs2 xlog,3 (2) 方程式の周辺は正であるから、とする 数をとると よって ゆえに logs5log:3+ 2x=(x+2)logs3 (2-log,3)x 2log 3 2logs30であるから すなわち (11 *()* P-1-250 -15152 -15log,152 log, slog, slog, STEP A・B、発展問題 したがって 1-1. これらは①を満たす。 数は正であるから 370 2log 3-1 不等式をすると(logylog D 方程式の周辺の3とする数をとると、 すなわち となる。 logym!とおくと よって これを解いて ゆえに (log-log~250 Togy-250 (+1-2150 すなわち 210g 3 2-log,3 3は1より大きいから 15159 の辺のとする対数をとると。 0.5. Wit 解は210g5-1 となる。 (4)数は正であるから すると 6019 0.1は1より小さいから loga (x-1)" <loga (7-x) (x-1)>7-2 376 (1)真数は正であるから x>0... ① すなわち x>0x0 logzx=t とおくと を変形すると (logsx410g+3=0 12-41+3=0 よって x²-x-6>0 (1-3)=0 整理して よって すなわち (x+2x-3)>0 =1.3 ゆえに x-2.3< 2 3 <x<7 1 すなわち logzx=1のとき o2logx150 logyaf とおくと (8-3x+5)>0 これを解いて -5.3 ゆえに +21-15>0 x=212 これらは①を満たす。 3 すなわち logzx=3のとき x=2,8 x=28 log<-5. 3<log すなわち logyx<log243. logo x1>0かつ7-x>0 1 <x<7 ...... ① よって 与えられた不等式は 41より大きいから 1.5<log,9 ゆえに log.8<log.9 整理して すなわち (+1%x-9)=0 また ①から 解は log, 25<log,27 x=-1 log, 25 <1.5 374 (1) 真数は正であるから したがって log,25 <1.5<log.9 372 (1) 対数の定義から (x+2)x+5)=10' して +7x=0 すなわち x+7)0 これを解いて x= 0.7 数の定義からー (1/3) 1 整理して これを解いて すなわち x6=0 (x+2x-3)=0 ①.②から. 解は これを解いて x=-2, 3 O 84 第5章 指数関数と対数関数 4 対数関数 1 対数関数 y=logx (a>0αキ1) 1. 定義域は正の数全体, 値域は実数全体。 0<p<glog♪ <logaq 2. >1のとき 増加関数 0<a<1 のとき 減少関数 0<p<g logap>log.g 0<a<! a>1 0 近 y-log.x 3. グラフは点 (1,0), (a, 1) を通り, y軸を漸近線としてもつ。 4. y=logx のグラフは, y=a* のグラフと, 直線 y=x に関して対称。 STEPA y=loga (2) y=5* *365 次の関数のグラフをかけ。 また,(2),(3)について (1) との位置関係をいえ (1) y=logsx (3) y=logx ✓ 366 次の関数の値域を求めよ。 ■ 次の方程式を解け。 [372,373 ] 372 (1) logio (x+2)(x+5)=1 373 (1) log2x+10g2(x+3)=2 *(3) 10gz(3-x)=1oga (2x+18) ✓ 374 次の不等式を解け。 *(1) 210go.1 (x-1) <logo.1 (7-x) 第2節 対数関数 85 O (2) log}(9+x-x)=-1 *(2) loga(2x+3)+loga (4x+1)=210g5 *(2) logia(x-3)+logi0x≦1 (3) log2(1-x)+log2(3-x) <1+10g23 例題 36 次の方程式を解け。 (1) 2-3x-1 (2) (logs.x)-log.x=0 指針 (1) 底が2と3で異なるから、 両辺の対数をとる。 (2) logsx=t とおくと, tの方程式になる。 解答 (1) 方程式の両辺は正であるから, 2を底とする対数をとると x=(x-1)log3 (1) y=logx (1≦x≦33) *(2)y=logx(x2) ■次の数の大小を不等号を用いて表せ。 [367368] よって (logz3-1)x=logz3 log:3 log3-10 であるから x=log:3-1 1-log2/ 367 (1) logz0.5, log23,1 logo.30.5, 0, logo.s2 ▽368*(1) loga8, logs 16, 2 (2) log43, log15, -2 3を底とする対数をとると (2) 真数は正であるから x>0 かつx>0 すなわち x0 ...... ① 方程式を変形すると (logsx410gxx=0 logsxt とおくと P-4t=0 よって t(t-4)=0 ゆえに t=0,4 すなわち logsx=0,4 x=1, 81 369 次の方程式、不等式を解け これらは①を満たす。 *(1) logx=-5 (2) log4x=4 (4) logs (3x-1)=2.5 *(5) loginx3 *(7) log}(x-1)>1 *(3) log(x-3)=12 (6) logas x-2 ✓ 375 次の方程式を解け。 *(1) 2=3°-1 (2)52=3+2 (8) log(1-2x)=0 STEP B 370 次の関数のグラフをかけ。 *(1) y=log2(x-2) (2)y=logx+1 (3) y=login(x) 376 次の方程式、不等式を解け。 *(1) (logsx)*-logzx +3= 0 (3) (logix)-log.x³-250 (2) (logx)-logx=0 (4) (log}x)+log/x-15 377 次のxについての不等式を解け。 ただし, は1と異なる正の定 (1) loga(x+3)<log (2x+2) (2) loga(x-3x-10)≧1 371 次の数の大小を不等号を用いて表せ。 ヒント log4, log4, log:4 (2) /loga.0.5, log20.5. log.0.5 3770<a<1の場合と>1の場合に分けて考える。 log.9, log, 25, 1.5

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148のかっこに 合計者550で計算して約538人と出したんですがダメですか?

04918 第1節 確率分布 155 O m-1.50, m-0.50, m+0.5cm+1.5g 145 正規分布 N (m, o²) に従う確率変数Xについて, Xのとる値を によって, 5つの階級に分けると,各階級に何%ずつ含まれるか。 146 ある県における高校2 147 の正規分布に従うものとする。 170.0cm,標準偏差 5.2cm (1) 身長が165 cm以上の生徒は, 約何% いるか。 整数値で答えよ。 (2) 身長の高い方から 10% の中に入るのは,何cm 以上の生徒か。 最も小さ い整数値で答えよ。 差15点であった。 成績が正規分布に従うものとするとき、 次の問いに答えよ。 (1)生徒の点数が78点以上である確率を求めよ。 (2)78点以上の生徒は約何人いると考えられるか。 (3) 30点以下の生徒は約何人いると考えられるか。 148 ある試験での成績の結果は, 平均 71点, 標準偏差 8 点であった。 得点の分布 は正規分布に従うものとするとき, 次の問いに答えよ。 (1)63点から87点のものが450人いた。 受験者の総数は約何人か。 2 のとき,合格点を55点とすると,約何人が合格することになるか。 149 ある2つの試験の結果は, 平均点がそれぞれ 57.6点, 81.8点,標準偏差がそ れぞれ 10.3点, 5.7点であった。 Aは前者の試験を受けて75点, Bは後者の 試験を受けて 88点であった。 どちらの試験を受けても、受験者全体としては 優劣がないものとすると, AとBはどちらが優れていると考えられるか。 た だし,得点は正規分布に従うものとする。 *150 ある植物の種子の発芽率は80%であるという。 この植物の種子を900個ま 食の いたとき、 次の問いに答えよ。 (1) 750個以上の種子が発芽する確率を求めよ。 (2)900個のうちぇ個以上の種子が発芽する確率が80%以上となるようなn の最大値を求めよ。 ABの得点を標準正規分布の得点に直してみる。 50) 発芽する種子の個数をXとするとき, Xn となる確率が80%以上になるように あの値の範囲を定めればよい。 第2章 統計的な推測 -786 455 55 16 1147 Z=Xは標正No.1)に従う。 111(232)=0.5-0.472=0.0228 (3Pz=12)=0.5-0.3849=0.1151115人。 (11)PZ-1=0.5-0.3413(2)P(Z-2)=0.9772 P(Z≦2=0.5-0.4772= 550×0.977238人 x08185=450 約50人 222- -4STEP数学B 146 身長 X (cm) が正規分布 N (170, 5.2)に従う X-170 とき, Z=- 5.2 従う。 550 48860 (2) X55 のとき Z-2 であるから PX≧55)=P(Z-2) は標準正規分布 N(0, 1) に よって、合格者の人数は (1) X=165 のとき Z-0.96 であるから P(X≧165)=P(Z≧ -0.96) = 0.5p(0.96) =0.5 +0.3315=0.8315 よって, 約 83% いる。 (2) まず, P(Zu)=0.1 (0) となるの値を 求める。 P(Zu) であるから 0.5-P(0≤Z≤u)=0.5-p(u) 0.5-(n)=0.1 よって p(u)=0.5-0.1=0.4 =0.5+ (2)=0.5+0.4772=0.9772 549.7x0.9772-537.1----- したがって 約537 人 149 A が受けた試験の得点は正規分布 N(57.6, 10.3) に従い、 B が受けた試験の得点は 正規分布 (81.8 5.7に従う。 A, B の得点をそれぞれ標準正規分布 152 平均 59.8. ささ25の無作為標本を 平均 Xの期待値と BX)=59.8 (k 6.9 153 (1) カード の数字を変量 Xとすると、 集団分布は 右の表のようにな AL の得点に直してみると ゆえに, 正規分布表から u 1.28 よって A. の得点 75点は 75-57.6 10.3 169 2 母平均と時間 X-170 Bの得点88点は 88-81.8 10 +2-70 1.09 5.7 ゆえに P(Z1.28)=0.1 これを解いて 5.21.28 X≧176.656 したがって, 177 cm 以上の生徒である。 147 成績 X が正規分布 N(48, 15℃ に従うとき、 X-48 15 Z=- は標準正規分布 N0.1)に従う。 (1) X=78 のとき Z = 2 であるから P(X≧78)=P(Z≧2)=0.5-p(2) =0.5-0.4772=0.0228 (2) (1)の結果から, 78点以上の生徒の人数は 1000x0.0228=22.8 よって、 約23人いると考えられる。 (3) X=30 のとき Z-1.2 であるから P(XS30)=P(Z≦-1.2)=P(Z≧1.2) =0.5-p(1.2)=0.5-0.3849=0.1151 ゆえに、30点以下の生徒の人数は 1000x0.1151115.1 よって、 約115いると考えられる。 148 得点Xが正規分布 (718) に従うとき、 ZX-71 は標準正規分布 NO. 8 よって、AがBより優れていると考えられる。 150 発芽する個数 Xは二項分布 B(900 0.8) 従う。Xの期待値と標準偏差のは m=900.0.8=720. √900.0.81-0.8)=140=2 よって、Xは近似的に正規分布 N730029 X-720 従い、 Z 標準正成分布NI 従う。 (1) P(X750)PZ22.5) 0.5-2.5) <=0.5-0.4938 =0.0062 (2) PX2) 20.8 とすると P(270)205+0.3 Q.81 0.3 であるから PIZZ-0.84 0.8 Z-0.84 ならばP(ZZa) 20.8 であるから そう。 ゆえに (1) X=63 のとき Z=-1, X=87 のとき Z=2 720 12 -0.84 720-10.08=709.92 よって、求めるの最大値は (3) Xの値 EX- X= 154 (1) 1 目をXとす うになる。 X P よって、 σ =

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この写真の右上の(4)について質問があります。 なぜtan∠EONはn/180となるのですか? 180というのが特に分かりません。 360になるのではないかと思ってしまいます。 早めに回答をいただけるとありがたいです。 よろしくお願いします。

(2) a2+b2+ c = -2 (ab-bc-ca) =20 (4) 半径1の円に外接する正n角形をn個の合同な 二等辺三角形に分け、次の図のようにそのうちの 1つを EOF とする。 (1) 図1において 360° ∠AOB= =30° 12 であるから, OAB の面積は AOAB=1/2.1. ..1.1.sin 30°11/10 ( = である。 よって E N F 180° n S12=12△OAB=3 (2) S12 と同様にして, S24 を求めると = Su-24 (1-1-1 sin 360° 24 = = 12sin 15° くい 10) m 図2において, 点から辺 CD に引いた垂線と 辺 CDとの交点をMとすると 点から辺 EF に引いた垂線と辺 EF との交 点をN とすると, △EON において ZCOM = 300 = 15° 30° であるから, 直角三角形 COM において (0s) CM = OC sin 15°= sin 15° よって CD=2CM=2sin 15° 15° 15° MIG D また, OCD において, 余弦定理より 2=2-√3 CD2=12+12-2・1・1・cos30° (3) 同様にして, S を求めると 360° -(-1-1-sin-30) Sn=n. =1sin 360° n -3- EN=ONtan ∠EON . AC=1 tan 180° n った 180° より = tan n さ26 |EF=2EN=2tan- よって 180° n OF=1/2EFON=tan- AEOF= であるから を取り出 180° n _180° が取り出Tn=n △EOF = ntan n ① =60のとき T60=60tan3° であり, 三角比の表より tan 3° の値は 0.0524 で あるから 68.0 ONE T60=600.0524=3.144 よって、T60より3.144であること がわかる。 [研究] (2sin 15°)22-Vより sin 15° の値を求め てみよう。 sin 15°0より n=60のとき S60=30sin 6° ① より、sin 15° √2-√3 = 2 である。ここで 4-2√3 2 であり, 三角比の表より sin 6° の値は 0.1045 で あるから S = 30 - 0.1045 = 3.135 よって, > S60 より > 3.135 であること がわかる。 √2-√3= 1個を取り直 == = √(√3-1) √2 3-1 √6-√2 √2 =

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赤線の記述なんでいるんですか

(2) (2) =2(cos'x+cos'y-1) (右辺)2(cosxcosy-sinxsiny) (cosxcosy+sinxsiny) よって =2((cos.xcos y)-(sin xsin y)2) =2(cos"xcos'y-sin"xsin'y) =2{cos xcos'y-(1-cos'x) (1-cos'y)) =2(cos'xcos'y-1+cos x+cosy-cosxcos'y} =2(cos"x+cos'y-1) (左辺) (右辺) 加法定理より cos (A+B)=cos A cos B-sin Asin B cos (A-B) cos A cos B+sin A sin B 辺々加える cos (A+B)+cos (A-B)=2cos A cos B A+B=2x, A-B=2y とすると, A=x+y, B=x-y_ であるから cos2x+cos2y=2cos (x+y) cos (x-y) (3)(2)の等式から cos2a+cos2β=2cos (a+B) cos (a-B) (1)の結果を代入して 59 cos2a+ cos2β=- 36 cos (α+B) ③ ①-②から (cos'a-sin'a)+2(cosacos β-sinasinβ) cos2s cozy ①と②の姿をとる。 (√3 sin 2x + cos2x)+4+b (a-b)sin(2x+2)+a+b >もよりb>0であるから 30- (x)の最大値は f(x) の最小値は a-b+a+b 2 三角関数の合成 -1sin(2x+4)=1 f(x)が最大となるのは 3a-b 2 2 -(a-b)+a+ba+3b 2 6,432 となるとき sin (2x+4 -1のとき /(x)が最小となるのは 3a-b=12, -α+3b-4 これを解いて (2) (1)の結果から f(x)>5 とすると 0x のとき よって、 ①から a=5,b=3 (a b を満たす) (x)=2sin(x+1)+4 sin(2x+)> ≤2x+7=137 <2x+<* 0<x< min (2x+4)-1のとき ....... ① xから したがって 0=2x2x +(cos'β-sin'β)=5 36 すなわち cos2a+cos2β+2cos(α+B)=5 利用できる。 cos'a sin'a- cos B-sin 8- 36 ③ を代入して 59 36 cos(a+B)+2cos (α+B)=5 36 よって 13 36 -cos(α+B)= 5 36 ゆえに cos(α+B)= 13 ゆえに、求めるxの範囲は 127 <三角関数と3次方程式) (2) cost = x とおくと cos3t, cos 4t はそれぞれxの3次式, 4次式 (1)の等式を利用 (3) (2)から,解と係数の関係を利用する。 (1)70=360°より よって 30+40=360° cos30=cos (360°-40)=cos40 (2) cost cos4t ……… ① とする。 (1) から, t=0 は ①を満たす。 126 <sinx, cosxの2次式で表される関数の最大値・最小値> (1) と同様にして 20= 720° 7 1080° 30= は 7 sin2x sinxcosx= 2sin2x=. 1-cos 2x から、 (1) cos'x= 1+cos2x 2 sin2x, cos2x の式に変形 三角関数の合成 が利用できる (1)/(x)=acos'x+√3 (a-b)cosxsinx+bsin'x 7・20=720°, 7・30=1080° であるから cos 3(20) = cos 4(20). cos 3(30) cos 4(30) を満たす。 よって, t = 20, 30 も①を満たす。 cost =x とおくと cos3t=4cost-3cost=4x-3x cos4t=2cos22t-1=2(2cos't-1)2-1 =2(2x-1)^-1=2(4x-4x2+1)-1=8x-8x²+1 =a⋅ 1+cos2x 2 2 + (a-b) sin2x+b.. 1-cos 2x 2 (a-b)sin2x+ (a-b)cos2x+ a+b よって、 ①から 2 ゆえに 4x3-3x=8x-8x2+1 8x4x8x2+3.x + 1 = 0 +cos(a+360xn)- cos(-a) cosa α20 とすると 3g+4g=720 よって (nl cos 3a cos (720 -cos4a 830 とすると 38+48=1080" よって cos 3ẞ cos (108 cos 4,8 cos 4t cos 2(2) 98 数学重要問題集(文系) 左辺を因数分解して (x-1) (8x+4x²-4x-1)=0 数学重要問題集 ( 126. <sinx, cosxの2次式で表される関数の最大値・最小値> a bを定数とし, α > b を満たすものとする。 f(x)=acosx+√3 (a-b) cosxsinx+bsin x とするとき 次の問いに答えよ。 (1) f(x) の最大値が6, 最小値が2となるときのα bを求めよ。 (2) (1) で求めた a, b に対して, f(x) を考える。 0≦x≦πのとき、f(x)>5 となる の範囲を求めよ。 [09 熊本大教育、 127. <三角関数と3次方程式〉 360° 0= 7 とするとき 次の問いに答えよ。 発展問 山海斗 (1) Co530 cos 40 であることを示せ。 (2) cos 0, cos 20, cos 30が解となるような, 係数がすべて整数であるxの3次方程式 を求めよ。 (3)(1+4cos'0)(1+4cos220)(1+4cos'30) を求めよ。 【横浜国大・経営 (

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オレンジで線引いてるところが何故イコールで繋げれるかわかりません。

る. で 10/21 8 媒介変数表示 / 接線など (左ページの例題の続き) (2) (1)の点P (20-sin0, 2-cose) (0<<2m) における曲線Cの法線と軸との交点を Q とする. 線分 PQ の長さが最大となるような点Pの座標を求めよ. (3) 曲線Cと軸, 2直線x=0, x=4πで囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の 体積を求めよ. サイクロイドでよく出る問題 (お茶の水女子大・理) サイクロイドなどの曲線では、接線法線, 面積 回転体の体積, 曲線の長さといった設問が多い。 似たような式が出てくるので、このうちのいくつかを実際に計算して おく、という程度でよいだろう、式の形を一度は見ておこう。 解答 ① P (20-sin0, 2-cos0) を (x, y) とおく. YA d.x dy する =2-coso, -= sin より (2) do de P dy dy/do sin C 1+9 このような問題では, dx dr dr/do 2-cos d=yとなることが多い 2-cos 法線PQの傾きは, sin (0) 0 x 4π x よって, Q(g, 0) とすると, PQの傾きについて 0-y 2-cos q-x sin であり,y=2-cos0 だから g-x=sin0 ナー ) (2) .::PQ=√sin20+(2-cos0)²=√5-4cos ①PQ=√(q-I)2+y2 =xのときはP(2,3), Q(20) だから PQ3で,このときも①は成り立 ①で-1≦cos0 <1なので, ① は cos0=-1 (0=π) のときに最大になり そのときの点Pの座標は (2π,3) (3) 求める体積は, Sydr=y2dd0=√(2-cos0)² (2-cos 0) do de 10 =x(8-12cosO+6cos20-cos30) d0三r 3 2π (8+6cos20) do =xJ"(8+3(1+cos20)}d=x[110+ 2/2sin20" =22π² と (+) ま Y = cos のグラフ (下図) から, cose, cos30 の積分が 0 になるこ とがわかる。 YA1 π e 0 27 08 演習題 ( 解答は p.93) (左ページの演習題の続き) π を の範囲で動かしたときのPの軌跡をCとする. 2 (2)Pのy座標が 1/2 のとき,PでのCの接線の傾きを求めよ. 2 (3) Cの長さを求めよ. (2) まず0を求める dy 傾き の求め方は例 dx (群馬大医) 題と同じ 87

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