例題1(回転)
(1) 楕円
4
=1
2
.① を原点Oを中心に 45° 回転して得られる曲線の方程式を求めよ
(2) 2次曲線+2ふy-y'=D8
② はどのような図形か
解答
(1) 2次曲線の上の点(x, y)を原点のまわりに回転した点を(X, Y)とする。
X+Yi=(r+ yi)| cos-+isin
4
より, x+yi= (X+Y)| cos
4
-isin
4
-であるから、
1
*= Xcos-+Y sin = X+
4
. y=-Xsin-+Y cos
4
ニーーーX+
4
*+2y=4より、
X+E
=4 ゆえに,3x? - 2.XY +3y' =8
+2
-Y
よって,求める曲線の方程式は, 3r° -2.ry+ 3y° = 8
(2) 点(x, y)が原点のまわりに6 (0s0<-)回転し, 2次曲線②上の点(X, Y)移ったとする。
X+Yi=(r+yi)(cos@+isin@)より, X=rcos@- ysin@, Y=xsin@+ycos@
x*+ 25xY -Y' =18より,
(xcose -ysine) +2B(xcos@- ysin@)(xsin@ +ycose)-(xsin0+ycosé)' =8
これより、
(cos'e+ 2,5sin@cos9-sin'e}r"-{4sin@cos@-2B(cos°0 - sin'@)]}:
+ (sin°e-25sin@cos0-cos'e)v =8
(cos20 + 5in 28)r"ー2(sin 20 -Fcos2e).y-(cos20+ 5sin29)v" =8
sin20-3cos20 =0とすると,
π
cos 20 +0より, tan 20= 3 0s 20<πより, 20=
π
ゆえに,0=:
6
このとき,2.r-2y=8
よって,双曲線
ー=1を原点のまわりに30°回転させた図形
Notel 楕円のを30° 回転して得られる曲線の方程式は, S.r' - 2~3.y +7x°=16
π
2元
Note2
|2
Note3 (1)
等より、0=- ュ--1を原点のまわりに-60*1回転]
5 =1を原点のまわりに-60° 回転]
3
3
8.5
-S.5
-1
