1)
222点A(4,0,5),B(0, 2, 1) を通る直線上の点のうち,原点 0 との距離が最小となる点
をPとする。
(1) 直線 AB と直線 OP の間に成り立つ関係を予想せよ。
(2) 点Pの座標を求めよ。 また, (1) で予想した関係が成り立つことを示せ。
(1) 直線 AB 上の点を Q とすると, 実数t を用いて
OQ=OA+tAB
と表される。
よって
OQ=(4,0,5)+f(-4,2,-4)
座標
=(4-4t, 2t, 5-4t)
......
①
したがって, 直線ABは原点 0 を通らない。
3点O, A, B を含む平面で考えると, 原点 0 との距離が最小となる点Pに対しては,
AB⊥OP であると予想される。
(2)(1) の① から, 直線AB上の点 Q の座標は
(4-4t, 2t, 5-4t)
......
②
と表される。
よって0Q2=(4-4t)' + (2t)' + (5-4t) 2
=36t2-72t+41
=36(t-1)^+5
よって, OQ2は t=1のとき最小となり,このとき, OQ も最小となる。
したがって,点Pの座標は② において t=1としたときに等しい。
よって, 点Pの座標は
(0,2,1)
このとき
AB・OP= (-4)×0 + 2×2+(-4)×1=0
したがって
ABLOP
よって, AB⊥OP が成り立つ。
