ε-δ論法を用いて (3) lim x→1 (x³-1)/(x-1)=3 を示せ。 の証明がわかりません💦教えていただきたいです！！ お願い致します！！！！！

問14 e-δ論法により、次のことを証明せよ。 (1) lim 2x = 2 X-1 (3) lim x³-1 = x-1 X-1 (2) lim x3 = 1 x-1 3 (4) lim√√ = 1 X x-1

問題23 どうやって証明をしたらいいのかわからないです、、 〜かつという共通部分をどう書き表したらいいのか分かりません。 とりあえず1枚目のように解こうとはしたんですが、分からなかったので教えて欲しいです

17723 仮定より、 · VE>0 = NICE) EN, "ne [ n>NE) => \an_X\<ε] YRER, VYER (H) - til = c(x-7 |] -0 ①、②の両方を満たすので、任意のを口に対して、 E-E ・と考えて、N(z)=Ni(e) とおくと、 cx-y1 NCE) n =>> | frans - fras|selan-al f <E @ff (an) = f(a) | Jai = frost≤ = 530 an Jan-12 9/2-81

【ε-δ論法_連続性の証明】 参考書内の演習問題についてです。 以下①～③の3点教えてください。 ▼画像の赤枠について ・①なぜ|x-1|²がδ²に変化するのでしょうか？ ・②δ² + 4δ - ε = 0がなぜδ = -2±√(4+ε)になるのでしょうか？ ... Read More

lim∫(x)=f(1) を示すための - 論法は次の通りだ。 x→1 > 0, 80s.t. 0<x-1|<8⇒\f(x) f(1)| <e 解答&解説 Yɛ>0, ³8>0 s.t. 0<|x-1|<8⇒\ƒ(x) −ƒ(1)|<ɛ (*) このとき, lim f(x)=f(1) となって, f(x)はx=1で連続と言える。 ナ 正の数』をどんなに小さくしても、 ある正の数 が存在し, 0<x-1|<8 ならば、 || (x) - f(1) | <e となるとき, limf(x)=f(1) が成り立つ。 連続条件 よって, (*)が成り立つことを示せばよい。 0<|x-1|<8のとき, |f(x) f(1)|=|x'+2x-3|=|(x-1)(x+3)| = |(x−1){(x−1)+4}| =|x-1+4|x-1|- < 82+48 1²+2+1=3 公式: ||A+B|≦|A|+|B|| を使った! + ヒント! が成り立つことな 解答&解説 Y>0, ³8 f(x) f(1) | <82+48 < g をみたす正の数 8 の存在を 示せばよい。 82 +48g < 0 をみたす の範囲をで表す。 このとき, lim よって, (* 0<|x-2 ( ':' |x-1|<8) ゆえに,正の数がどんなに小さな値をとっても, 8' +48 - <0 をみたす正の 数δ が存在することを示せばよい。 この不等式を解いて、 -2-√4+ <8<-2+√4+8 百 8 の2次方程式: 82+48-8 = 0 の解δ=-2±√4+6 これを使った! lg(x よって,どんなに小さな正の数が与えられても, 8 <-2+v4+c をみたす正 の数 8 が存在するので, (*)は成り立つ。 これで, f(x) が x=1で連続であることが示された。 … (終) W

ε-δ論法による証明がわかりません。 (1)の波線部の不等式がどこから出てくるのか教えていただきたいです。 ε/2Mというのはどこから出てきたんですか？

基本例題031-8 論法による基本定理の証明 下の指針の定理について, 以下の問いに答えよ。 (1) 下の, 関数の極限の性質の [2], および [3] を,e-8 論法を用いて証明せよ。 (2) 下,合成関数の極限をe-8 論法を用いて証明せよ。 指針定理関数の極限の性質(スロー(x)=(x)ノー 関数 f(x), g(x) および実数 α について, limf(x)=a, limg(x) =β とする。 [1] lim{kf(x) +1g(x)}=ka+1β (k, lは定数) x→a x→a [2] limf(x)g(x)=aB [the lim (1/(x) 定理 合成関数の極限 4179744571 x→a x→b YOU 関数 f(x), g(x) について, limf(x)=b, limg(x)=αとし, g(x)はx=6で連続とする。 このとき,合成関数 (gf) (x) について, lim (gf) (x)=α が成り立つ。会場 x→a x→a x→a x→a xx→a [3] lim x→a f(x) a g(x) B E-8 論法による証明であるから、 「 e を任意の正の実数とする」から始める。そして,これに 対応するの値を検討する。 次のような方針で証明を進める。 f(x) (1) 1 1 の極限を求める問題は、f(x) x- g(x) として g(x) g(x) る。 関数の値と極限値との差の絶対値を評価し,途中でどのような仮定が必要になるかを考 05.10 える｡ So I had lot (2) 合成関数g (f(x)) の値を g (f(a)) に近づけるには,gの中にある f(x) をどの範囲で x→a == (ただし,β≠0) eを任意の正の実数とする。 limf(x) =α であるから, ある正の実数品。 が存在して, ()+6011-5 0<|x-a|<品。 であるすべてのxについて|f(x)-α|<s が f(a) に近づければよいかを考え,それに応じてxをどの範囲でαに近づけるか考える。 1o C (+18 解答 (1) 性質 [2] の証明 成り立つ。このとき,α-e<f(x)<α+ であるから |f(x)|≦max{|a-el, |a+c|} S3A/ ここで,M=max{|α-el, |α+el, |β|} とおく。 e≠0 より |a-el, late | の少なくとも一方は0でない から M>0 limf(x) =α であるから,ある正の実数 Ô が存在して E 0<|x-a|<ふであるすべてのxについて|f(x)-al< AMICIAS が成り立つ。 limg(x) =βであるから、 ある正の実数 82 が存在して 1 B を示す問題に帰着させ e-8 論法による証明の 開始。 Jel 4

ε-δ論法に関してです。 以下の証明が理解できないので解説をお願いしたいです。 ―――――――――――――――――――――――――― [1/n→0(n→∞)の証明] 1/nがある値εに収束すると仮定する。 ここですべての正の数εに対して、ある正の数δが存在し、 ... Read More

(1)~(3)の証明問題がわかりません。回答でなくヒントや道筋でも良いので教えて頂きたいです。(1番に関しては成り立たないのでは、、、？と思っています、反例がみつかってはいないですが)

(1) {an}を増加数列,{b,}を減少数列とし,an S bn (n= 1,2, ) が成り立つとする。 このとき,{an}, {bn} はともに収束し, lim an lim bn が成り立つことを示せ。 n→0 n→0 (2) 数列 {cn}と関数 f(z) について,lim zn = a, lim f(z) = 1 ならば,lim f(en) = 1 n→0 C→a n→0 であることを示せ。 (3) 閉区間 [a, b] 上の連続関数 f(z)と実数kがf(a) <k<f(b) をみたすとする。 このとき,c= sup{z € [a, b| | f(z) < k} に対して,f(c) = k が成り立つことを示せ。

解析学のフーリエ級数のあたりの話で、 f＊g(x)=g＊f(x)となることはどのように示せばいいですか？ やはりε-δ論法ですか？

lim(x→1)(2x+1)=3をε-δ論法で示せ。 という問題の証明を教えてください。

0.99...99=1をε-δ論法で示せ。 という問題の証明を教えてください。

微分可能であることを定義に従ってε-δ論法で示せとあります。教科書の例では、δじゃなくてΔを使って説明しています。Δを使ってもε-δ論法で示したことになるんですか？