と変数以上の関数について,その偏微分を含んだ微分方程式を偏微分方程式という。
特に次の偏微分方程式
°u
du
=c?
dr?
(c>0)
at
を熱伝導方程式という。
要点1
du
熱伝導方程式
c?
at
°u
(c>0) は,解をu = X(x)T)とおいて解くことがで
dx?
きる。この方法を変数分離法という。
(1)u=X(x) T()を式(13.5.1) に代入して整理すると,
解説
T(t)
c°T(t)
X"(x)
X(x)
(13.5.2)
となる。この左辺はtだけの関数であり, 右辺はxだけの関数である。したがって, 式(13.5,2)
の両辺はある定数に等しい。そこで, この定数を一とおく。よって,式(13.4.1)は2つの方程式
X"+入X=0
(13.5.3)
T'+AC°T=0
に分解する。この2つの方程式を解いて, u=X(x)T()とおけば, 解が得られる。
(2)ここで,微分方程式 X"+AX=0に, X(0) = 0, X(L) =D 0という境界条件が与えられていたとし
よう。
もし入=0ならば, X=Ax+B (A, Bは任意定数) と表されるので,、境界条件からA=B=0とな
2-V-Ax と表されるので, これも境界条件からA=B=0と
V-Ax
る。え<0のときも, X=Ae'
+ Be
なる。したがって, 入>0を仮定できる。
33
え>0のときの解は, X=AcosV入x+BsinV入xである。さらに, 境界条件x(0) = 0なので,
A=0である。よって, X=BsinVAxである。さらに境界条件X(L) =D0より,
Bsin L、入 = 0
1
を得る。B=0ならばXは恒等的に0となるので, B+0である。よって,
sin L入 = 0
である。したがって,
LA
入=[ (n=1,2,…)
= Nπ, すなわち
L
P2
