[重要] 例題058 行列を成分にもつ行列の階数
をn次正方行列とするとき、次の行列の階数を, rank A. rank B,
Bを
rank BA などを用いて表せ。行列
ZA,
(1) [A A+B]
Leonar
E A
(2) [54]
B
(U19)
脂針線形写像を導入するとよい。 その際,基本例題119の指針で扱った線形写像と次元の定理を
用いる。R
(1) 行列 A.BをKの要素を成分にもつn次正方行列とし.C= [4 A+B] とする。
A
8dh6T+K=A\dasi+w=
また行列 A,B,Cから決まる線形写像をそれぞれ fa: K"K",
fs: K"→K", fc: Kin → K2n とする。
xEK", y∈K" に対し, Ker(f)={[x]|c[x]=0}であるとする。
c[*]=[^x+(A+B)y]-[4(x+3)
+ By]
53 ] であるから
E
Polo By
y∈Ker (fb), x+y∈Ker(fa)
A E
(3) [15]
B.
xC
[*] =Ker(0)
Ker (fc) が得られる。
(fc)
V19)
dim Ker(fc)=dim Ker(fa) + dim Ker(f)
よって
したから
ゆえに
rankC=rank fc
rank A-1ならば A=2n-dim Ker (fc)
ここで,任意の y∈Ker (fb), zEKer (fa) に対し, x=z-y とおくと、任意の
x=2-
<Ker(fc) = Ker(fa) Ker(fB)
"行列をXとして
rank.AIであるならこ
=2n-{dim Ker(f)+dim Ker(fs)}
ne
={n-dim Ker(f)}+{n-dim Ker(fs)}
amer
=dimfa(K")+dimfs (K")_m)+
百編
=rankfa+rankfp=rankA+rank B
L
261
41
