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基本例題207 3次関数が極値をもつ条件, もたない条件 ①①①①①
(1) 関数f(x)=x3+αx2が極値をもつとき,定数aの満たすべき条件を求めよ。
(2) 関数f(x)=x6x2 +6axが極大値と極小値をもつような定数aの値の範囲
を求めよ。
(3) 関数f(x)=x+ax2+x+1が極値をもたないための必要十分条件を求めよ。
ただし,αは定数とする｡
春 基本 201,206 重要 210
指針 3次関数f(x) が極値をもつ
⇔f'(x) の符号が変わる点がある
CBD 44
f(x)=0が異なる2つの実数解をもつ
⇔f'(x)=0 の判別式 D>0
D
=a²-3.0=a²
4 ===++
ここで
ゆえに (a+√3)(a-√3) 20
4
と
D>0
ここで
ゆえに, ²0 から a=0
(2) f'(x)=3x²-12x+6a=3(x²-4x+2a) (220)
f(x) が極大値と極小値をもつための条件は,f'(x) = 0 が異
なる2つの実数解をもつことである。
Ja
よって、x²-4x+2a=0の判別式をDとすると
4=(-2)^-1・2a=4-2a から4-2a>0より
(3) f'(x)=3x2+2ax+1
f(x) が極値をもたないための必要十分条件は、 f'(x) の符号
が変わらないことである。ゆえに, f(x)=0 すなわち
3x2+2ax+1=0
実数解をもたない。
よって, ① の判別式をDとすると
極大
x=α
P=a²-3.1=(a+√3)(a-√3)
解答
(1) f'(x)=3x2+2ax ①の判別式
f(x) が極値をもつための条件は,f'(x) = 0 が異なる2つの実 3次関数が極値をもつとき,
数解をもつことである。 3x²+2ax=0 の判別式をDとする
極大値と極小値を1つずつ
もつ｡
x(3x+2a) = 0 から
x=0, -a
D>0
a <2
･･････ ① は実数解を1つだけもつかまたは
( 3の係数)>0のとき
y=f(x) /
x=B₁
極小
よって -√3≦a≦√3
よって α=0
としてもよい。
(3)
V
y=f'(x) /
V
D=0
D≦0....... (*)DO
DI
y=f(x) /
(*) D<0は誤り。
y=f'(x)
x
har極大値と極小値をもつとき、 定数 αが
6:
3
関数の増減と極大・極小
