98 第2章 関数と関数のグラフ
応用問題 1
αは実数の定数とする. 2次関数 f(x)=ar+3 について
(1) f(x)の≦x≦2 における最小値を求めよ。
(2)f(x)のx≦2 における最大値を求めよ。
精講
文字定数aの値によって、2次関数のグラフの軸の位置が変わりま
ですので、軸と変城の位置関係に注意して 「場合分け」をする必要が
あります。最小値と最大値で場合分けのポイントがどこになるのかを、
く観察してみましょう
解答
f(x)=(r-2a)-4a+3
より、y=f(x)のグラフの軸はx=2α である。
(1) グラフの軸 z=2αが、変域 0≦x≦2 の 「左側」にあるか 「中」にある
か「右側」にあるかで、最小値をとる場所が変わる。
軸が変域の 「左側」にある 2<0 すなわち <0 のとき
「軸が変域の 「中」 にある
02a2
軸が変域の「右側」にある··· 2a>2
なので、この3つで場合分けをする.
すなわち Osasl のとき
すなわち>1のとき
(i) a<0 のとき
x=0で最小値をとり、最小値は,f(0)=3
0≦a≦1のとき
x=2αで最小値をとり、最小値は、f(2a)=q+3
(α>1のとき
=2で最小値をとり、最小値は,f(2)-8a+7
以上をまとめると
3
(a<0 のとき)
求める最小値は4a'+3
(Usas のとき)
8a+7 (α>1のとき)
ある